Question

（2011•平谷區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0）．
（1）如圖1，若直線AB∥OC，點(diǎn)D是線段OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△OPD是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若直線AB與OC不平行，AB所在直線y=-x+4上是否存在點(diǎn)P，使△OPC是直角三角形，且∠OPC=90°，若有這樣的點(diǎn)P，求出它的坐標(biāo)，若沒(méi)有，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，滿足條件的有三種情況：當(dāng)P₁D=OD=5時(shí)，點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（2，4）；當(dāng)OP₂=OD，點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（3，4）；當(dāng)DP₃=OD=5時(shí)，點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（8，4）
（2）如圖，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OC于點(diǎn)H，由△OPH∽△PCH得到建立方程求解．
解答：解：（1）P₁（3，4），P₂（2，4），P₃（8，4）；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a+4），過(guò)點(diǎn)P作PH⊥OC于點(diǎn)H，
∵∠OPC=90°，=，
∴△OPH∽△PCH．
∴即PH²=OH．CH．
∵（-a+4）²=a（10-a），
∴a²-8a+16=10a-a²，
∴2a²-18a+16=0，解得a₁=1，a₂=8．
∴P₁（1，3），P₂（8，-4）．

另法：由題意可設(shè)p（a，-a+4），
∵∠OPC=90°；C（10，0），
∴OC中點(diǎn)D為（5，0），
DP=OC=5，
∴由兩點(diǎn)間距離公式得 DP²=（5-a）²+（4-a）²=25，
解得a=1或8；
-a+4=3或-4，
即存在點(diǎn)P（1，3）或（8，-4）．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求解．