Question

（2009•鄭州模擬）如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．設(shè)F、H分別是B、D落在AC上的兩點(diǎn)，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AECG是平行四邊形：
（2）若AB=8cm，BC=6cm，求線段EF的長．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得AD∥BC，AB∥CD，又由平行線的性質(zhì)，可得∠DAC=∠BCA，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：∠1=

1

2

∠DAC，∠2=

1

2

∠BCA，即可證得AG∥CE，根據(jù)有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形AECG是平行四邊形；
（2）先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=10，則AF=4，再設(shè)EF=BE=x，則AE=8-x，然后在Rt△AFE中，由勾股定理，得出方程即x²+4²=（8-x）²，解方程即可求出EF的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
由折疊可知∠1=

1

2

∠DAC，∠2=

1

2

∠BCA，
∴∠1=∠2，
∴AG∥CE，
又AE∥CG，
∴四邊形AECG是平行四邊形；

（2）解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
由勾股定理可得，AC=

62+82

=10，
又CF=BC，則AF=AC-CF=4．
設(shè)EF=BE=x，則AE=8-x，
在Rt△AFE中，由勾股定理，得EF²+AF²=AE²，
即x²+4²=（8-x）²，解得x=3，
即EF=3cm．

點(diǎn)評：此題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理等知識．此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．