【題目】在正方形ABCD中,BD是一條對角線,點E在直線CD上(與點C,D不重合),連接AE,平移△ADE,使點D移動到點C,得到△BCF,過點F作FG⊥BD于點G,連接AG,EG.
(1)問題猜想:如圖1,若點E在線段CD上,試猜想AG與EG的數(shù)量關系是____________,位置關系是____________;
(2)類比探究:如圖2,若點E在線段CD的延長線上,其余條件不變,小明猜想(1)中的結論仍然成立,請你給出證明;
(3)解決問題:若點E在線段DC的延長線上,且∠AGF=120°,正方形ABCD的邊長為2,請在備用圖中畫出圖形,并直接寫出DE的長度.
【答案】(1)AG=EG,AG⊥EG;(2)見解析;(3)2.
【解析】
試題分析:(1)如圖1,由平移得,EF=AD,∵BD是正方形的對角線,∴∠ADB=∠CDB=45°,∵CF⊥BD,∴∠DGF=90°,∴∠GFD+∠CBD=90°,∴∠DFG=45°,∴GD=GF,在△AGD和△EGF中,,∴△AGD≌△EGF∴AG=EG,∠AGD=∠EGF,∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°,∴AG⊥EG.故答案為AG=EG,AG⊥EG.
(2)(1)中的結論仍然成立,
證明:如圖2,由平移得,EF=AD,∵BD是正方形的對角線,∴∠ADB=∠CDB=45°,∵CF⊥BD,∴∠DGF=90°,∴∠GFD+∠CBD=90°,∴∠DFG=45°,∴GD=GF,在△AGD和△EGF中,,∴△AGD≌△EGF∴AG=EG,∠AGD=∠EGF,∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°,∴AG⊥EG.
(3)由(1)有,AG=CG,AG⊥EG,∴∠GEA=45°,∵∠AGF=120°,∴∠AGB=∠CGB,=30°,∴∠FGE=∠CGB=∠CGE=30°,∴∠CEG=75°,∴∠AED=30°,在Rt△ADE中,AD=2,∴DE=2.
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【題目】如圖,在△ABC中,CD⊥AB,垂足為D,點E在BC上,EF⊥AB,垂足為F.
(1) CD與EF平行嗎?為什么?
(2)如果∠1=∠2,且∠3=115°,求∠ACB的度數(shù).
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【題目】如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,AD、BC的延長線相交于點E,AB、DC的延長線相交于點F.若∠E+∠F=80°,則∠A=____°.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD,CE分別是AB邊上的中線和高.
(1)求證:AE=ED;
(2)若AC=2,求△CDE的周長.
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【題目】如圖,拋物線過點, . 為線段OA上一個動點(點M與點A不重合),過點M作垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P、N.
(1)求直線AB的解析式和拋物線的解析式;
(2)如果點P是MN的中點,那么求此時點N的坐標;
(3)如果以B,P,N為頂點的三角形與相似,求點M的坐標.
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【題目】已知,在中,,為上一動點,以為斜邊作,,交于點,且.
(1)如圖①,若平分,,求的長
(2)如圖②,連接并延長交的延長線于點,過點作于,求證.
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【題目】已知點A(a﹣2b,2﹣4ab)在拋物線y=x2+4x+10上,則點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為( )
A. (﹣3,7) B. (﹣1,7) C. (﹣4,10) D. (0,10)
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【題目】某文具店購進一批紀念冊,每本進價為20元,出于營銷考慮,要求每本紀念冊的售價不低于20元且不高于28元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀念冊每周的銷售量y(本)與每本紀念冊的售價x(元)之間滿足一次函數(shù)關系:當銷售單價為22元時,銷售量為36本;當銷售單價為24元時,銷售量為32本.
(1)求出y與x的函數(shù)關系式;
(2)當文具店每周銷售這種紀念冊獲得150元的利潤時,每本紀念冊的銷售單價是多少元?
(3)設該文具店每周銷售這種紀念冊所獲得的利潤為w元,將該紀念冊銷售單價定為多少元時,才能使文具店銷售該紀念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】在新修的花園小區(qū)中,有一條“Z”字形綠色長廊ABCD,如圖,AB∥CD,在AB、BC、CD三段綠色長廊上各修建一涼亭E、M、F,且BE=CF,M是BC的中點,E、M、F在一條直線上.若在涼亭M與F之間有一池塘,在用皮尺不能直接測量的情況下,你能知道M與F之間的距離嗎?試說明理由.
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