Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形AOB的直角頂點與原點O重合，點A、B分別在x、y軸上，且AB=4

2

．直線AB交反比例函數(shù)的圖象于點C，且AB=2BC．過點C作CD⊥y軸于點D．
（1）求直線AB的函數(shù)解析式和過點C的反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接AD、OC，求四邊形AOCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AB=

2

OB=

2

OA，則OA=OB=4，得到點A的坐標(biāo)為（-4，0），點B的坐標(biāo)為（0，4），然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)解析式為y=x+4，由CD⊥y軸，得到△CDB也是等腰直角三角形，而AB=2BC，則BC=2

2

，于是有CD=BD=2，則OD=BD+OB=2+4=6，得到點C的坐標(biāo)為（2，6），再利用待定系數(shù)法求出點C的反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)三角形面積公式得到S_△AOD=

1

2

×OA×OD=

1

2

×4×6=12，S_△ODC=

1

2

×OD×CD=

1

2

×6×2=6，然后利用S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△ODC計算即可．

解答：解：（1）∵△AOB為等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠BAO=45°，
∴AB=

2

OB=

2

OA，
而AB=4

2

，
∴OA=OB=4，
∴點A的坐標(biāo)為（-4，0），點B的坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為 y=kx+b（k≠0），
把點A（-4，0）和點B（0，4）分別代入y=kx+b（k≠0），得

-4k+b=0 b=4

，解得

k=1 b=4

，
∴直線AB的函數(shù)解析式為y=x+4，
∵CD⊥y軸，
∴∠CDO=90°．
∴∠ABO=∠CBD=45°，
又∵AB=2BC，
∴BC=2

2

，
∴CD=BD=2，
∴OD=BD+OB=2+4=6，
∴點C的坐標(biāo)為（2，6），
設(shè)過點C的反比例函數(shù)的解析式為y=

m

x

（m≠0）．
將點C（2，6）代入y=

m

x

（m≠0），得6=

m

2

，
∴m=12，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

12

x

；

（2）∵S_△AOD=

1

2

×OA×OD=

1

2

×4×6=12，
S_△ODC=

1

2

×OD×CD=

1

2

×6×2=6，
∴S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△ODC=12+6=18．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點在反比例函數(shù)圖象上，點的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)．