Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，過A點作AD⊥x軸于D，已知OA=，，點B的坐標為（）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）試問在y軸上是否存在著點P使S_△APB=5？如果有，請求出P點坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，連接OB，在Rt△AOD中，OA=，AD=OD，且OD²+AD²=OA²，
代入解得AD=1，OD=2，
故A（-2，1），
則反比例函數(shù)解析式為：xy=k=-2，
y=-，
已知B點橫坐標為，
則（-2）×1=m，
解得m=-4，
故B（，-4），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
則，
得，
直線AB解析式為y=-2x-3，

（2）當一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時，
即反比函數(shù)圖象在一次函數(shù)的上方時，
利用圖象可以得出，x的取值范圍是：-2＜x＜0或x＞；

（3）∵直線AB解析式為y=-2x-3，
∴圖象與y軸交于點E（0，-3），
∴EO=3，
∵S_△APB=5，A點橫坐標為：-2，B點橫坐標為：，
∴S_△AEP=×2×PE=PE，
S△_PEB=×PE，
∴PE+PE=PE=5，
∴PE=4，
∴P點坐標為：（0，1），
若P點在E點下方，可以得出P′E=4，
∴P′點坐標為（0，-7）．
故P點坐標為：（0，1）或（0，-7）
分析：（1）連接OB，在Rt△AOD中，由勾股定理求OD、AD，確定A點坐標，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點橫坐標與縱坐標的積不變，求B點縱坐標，根據(jù)A、B兩點坐標求直線AB的解析式以及反比函數(shù)解析式，
（2）根據(jù)A、B兩點的橫坐標，可求當一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）利用S_△APB=5，以及利用A，B點的橫坐標得出EP的長度即可．
點評：此題主要考查了反比函數(shù)的綜合題以及三角形面積求法和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)值的大小關(guān)系是解題關(guān)鍵．