Question

7．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D（m，1）為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、E．
（1）求邊AB的長(zhǎng)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，求四邊形BEDF的面積；
（3）在y軸的負(fù)半軸找一點(diǎn)P，使DP平分∠CPA，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)镋在AB上，且E（4，n），則OA=4，可知m=2，把D的坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)的解析式中即可求k，同時(shí)得AB的長(zhǎng)就是點(diǎn)D縱坐標(biāo)的2倍；
（2）作兩三角形的高線，根據(jù)D、E、F三點(diǎn)的坐標(biāo)表示出兩三角形的底邊和高的長(zhǎng)，則四邊形BEDF的面積=△BDF的面積+△BDE的面積；
（3）作輔助線，設(shè)PO=a，在Rt△POA中利用勾股定理列方程求出a的值，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵E（4，n），
∴OA=4，
∵點(diǎn)D（m，1）為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，
∴D（2，1），AB=2，
把D（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$中得：k=1×2=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{2}{x}$；
（2）如圖1，當(dāng)x=4時(shí)，y=$\frac{1}{2}$，則E（4，$\frac{1}{2}$），
當(dāng)y=2時(shí)，x=1，則F（1，2），
過D作DG⊥AB于G，過D作DH⊥BC于H，
根據(jù)D、E、F三點(diǎn)的坐標(biāo)得：DG=4-2=2，BE=2-n=$\frac{3}{2}$，BF=4-1=3，DH=1，
∴S_{四邊形BEDF}=S△_BDE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$BE•DG+$\frac{1}{2}$BF•DH=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2+$\frac{1}{2}$×3×1=3；
（3）如圖2，過D作DM⊥AP于M，過D作DN⊥PC于N，連接AD，
∵PD平分∠CPA，
∴DN=DM=2，
∵DO=DA=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AM=1，
設(shè)PO=a，則PN=PM=a+1，
∴PA=PM+AM=a+2，
在Rt△POA中，PO²+OA²=PA²，
a²+4²=（a+2）²，
a=3，
∴P（0，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例與矩形的綜合題，考查了矩形和角平角線的性質(zhì)、勾股定理及運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，并利用反比例函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo)，把反比例函數(shù)與矩形相結(jié)合，注意點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及矩形性質(zhì)的運(yùn)用．