Question

【題目】如圖,直線(xiàn)AB∥CD,點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上,點(diǎn)G在直線(xiàn)CD上,點(diǎn)P在直線(xiàn)AB.CD之間,∠AEP=40°,∠EPG=900

(1)填空:∠PGC=_________0；

(2)如圖, 點(diǎn)F在直線(xiàn)AB上,聯(lián)結(jié)FG,∠EFG的平分線(xiàn)與∠PGD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí),如果∠EFG=30°,求∠FQG的度數(shù)；

解:過(guò)點(diǎn)Q作QM∥CD

因?yàn)椤?/span>PGC+∠PGD=1800

由(1)得∠PGC=_______0,

所以∠PGD=1800-∠PGC=________0,

因?yàn)?/span>GQ平分∠PGD,

所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=_________0

(下面請(qǐng)補(bǔ)充完整求∠FQG度數(shù)的解題過(guò)程)

(3)點(diǎn)F在直線(xiàn)AB上,聯(lián)結(jié)FG,∠EFG的平分線(xiàn)與∠PGD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)Q.如果∠FQG=2∠BFG,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EFG的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）50；（2）∠FQG的度數(shù)為130°；（3）∠FQG的度數(shù)為98°.

【解析】

（1）延長(zhǎng)GP交AB于點(diǎn)H，由AB∥CD，得∠H=∠PGC，在直角△PEH中由∠H與∠AEP互余，可求出∠H的角度，即為∠PGC的角度.

（2）過(guò)點(diǎn)Q作QM∥CD，由（1）結(jié)論可求∠PGD，然后由角平分線(xiàn)求∠QGD，再由QM∥CD求出∠MQG，由QM∥AB求出∠FQM，最后由∠FQG=∠MQG+∠FQM得出結(jié)果.

（3）設(shè)∠EFG=x°，則∠BFG=（180-x）°，由QF平分∠EFG，可得∠EFQ=x°，由（2）的方法可用x表示出∠FQG，然后根據(jù)∠FQG=2∠BFG，建立方程求解.

（1）如圖所示，延長(zhǎng)GP交AB于點(diǎn)H，因?yàn)?/span>AB∥CD，所以∠H=∠PGC，在在直角△PEH中，∠H+∠HEP=90°，所以∠H=90°-∠AEP=50°.

（2）過(guò)點(diǎn)Q作QM∥CD

因?yàn)椤?/span>PGC+∠PGD=180°

由(1)得∠PGC=50°

所以∠PGD=180°-∠PGC=130°

因?yàn)?/span>GQ平分∠PGD,

所以∠PGQ=∠QGD=∠PGD=65°

因?yàn)?/span>QM∥CD

所以∠MQG+∠QGD=180°，則∠MQG=180°-65°=115°

又因?yàn)?/span>QM∥CD∥AB

所以∠FQM=∠EFQ

而QF平分∠EFG

所以∠EFQ=∠QFG=∠EFG=15°

所以∠FQG=∠MQG+∠FQM=115°+15°=130°

（3）設(shè)∠EFG=x°，則∠BFG=（180-x）°，由QF平分∠EFG，可得∠EFQ=x°，由（2）可知∠MQG==115°，∠FQM=∠EFQ=x°，∠FQG=（115+x）°，由條件∠FQG=2∠BFG可得115+x=2（180-x），解得x=98，故∠EFG的度數(shù)為98°.