【題目】閱讀理解:

如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點.解決問題:

1)如圖1A=B=DEC=55°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由;

2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5BC=2,且A,BC,D四點均在正方形網格(網格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E;

拓展探究:

3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點,試探究ABBC的數(shù)量關系.

【答案】解:(1)點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點。理由如下:

∵∠A=55°∴∠ADE+DEA=125°。

∵∠DEC=55°∴∠BEC+DEA=125°。

∴∠ADE=BEC。

∵∠A=B,∴△ADE∽△BEC。

E是四邊形ABCDAB邊上的相似點。

2)作圖如下:

3E是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點,

∴△AEM∽△BCE∽△ECM。∴∠BCE=ECM=AEM。

由折疊可知:ECM≌△DCM,∴∠ECM=DCM,CE=CD。

∴∠BCE=BCD=30°。BE=CE=AB。

RtBCE中,

,。

【解析】

試題1)要證明點E是四邊形ABCDAB邊上的相似點,只要證明有一組三角形相似就行,很容易證明ADE∽△BEC,所以問題得解。

2)根據(jù)兩個直角三角形相似得到強相似點的兩種情況即可。

3)因為點E是梯形ABCDAB邊上的一個強相似點,所以就有相似三角形出現(xiàn),根據(jù)相似三角形的對應線段成比例,可以判斷出AEBE的數(shù)量關系,從而可求出解 

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