Question

在邊長為2的正方形ABCD中，O為對稱中心，正方形OEFG繞點O旋轉，邊OE、OG分別與邊BC、CD交于點M、N．
（1）求證：OM=ON；
（2）探究四邊形OMCN的面積是否隨M、N的位置的變化而變化，說明理由；
（3）連結MN，探究在旋轉正方形OEFG的過程中，△OMN的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質可得∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，然后利用“角邊角”證明△AOM和△BON全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）由（1）知道△OBM與△OCN的面積相等，故四邊形OMCN的面積=

1

4

正方形ABCD的面積=1，故可以得到四邊形OMCN的面積不變，為1；
（3）當OM⊥BC時，OM和ON存在最小值，此時OM=ON=1，然后利用勾股定理求得MN的長，從而可以確定△OMN的周長的最小值；

解答：解：（1）證明：在正方形ABCD中，∠OBM=∠OCN=45°，OC=OB，
∵∠BOM+∠MOC=∠BOC=90°，
∠CON+∠MOC=∠EOG=90°，
∴∠BOM=∠CON，
∵在△BOM和△CON中，

∠OBM=∠OCN OB=OC ∠BOM=∠CON

，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴OM=ON；

（2）不變；
理由：由（1）知道△OBM與△OCN的面積相等，故四邊形OMCN的面積=

1

4

正方形ABCD的面積=1；

（3）當OM⊥BC時，OM和ON存在最小值，
此時OM=ON=1，
由勾股定理得：NM=

OM2+ON2

=

2

，
∴△OMN的周長存在最小值2+

2

；

點評：本題考查了旋轉的性質，解決此類問題的關鍵是正確的利用旋轉不變量．正確作出輔助線是關鍵．