Question

如圖①，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與二次函數(shù)y=x²的圖象相交于A，B兩點，點A，B的橫坐標分別為m，n（m＜0，n＞0）．

（1）當m=﹣1，n=4時，k=　 　，b=　 　；

當m=﹣2，n=3時，k=　 　，b=　 　；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，用含m，n的代數(shù)式分別表示k與b，并證明你的結(jié)論；

（3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題：

如圖②，直線AB與x軸，y軸分別交于點C，D，點A關(guān)于y軸的對稱點為點E，連接AO，OE，ED．

①當m=﹣3，n＞3時，求的值（用含n的代數(shù)式表示）；

②當四邊形AOED為菱形時，m與n滿足的關(guān)系式為　n=﹣2m　；

當四邊形AOED為正方形時，m=　﹣1　，n=　2　．

Answer 1

 解：（1）當x=﹣1時，y=x²=1，則A（﹣1，1）；當x=4時，y=x²=16，則B（4，16），

把A（﹣1，1）、B（4，16）分別代入y=kx+b得，解得；

當x=﹣2時，y=x²=4，則A（﹣2，4）；當x=3時，y=x²=9，則B（3，9），

把A（﹣2，4）、B（3，9）分別代入y=kx+b得，解得；

故答案為：3，4；1，6；

（2）k=m+n，b=﹣mn．理由如下：

把A（m，m²），B（n，n²）代入y=kx+b得，解得；

（3）①當m=﹣3時，A（﹣3，9），

∵點A關(guān)于y軸的對稱點為點E，

∴E（3，9），

∵k=m+n，b=﹣mn，

∴k=﹣3+n，b=3n，

∴直線AB的解析式為y=（﹣3+n）x+3n，則D（0，3n），

當y=0時，（﹣3+n）x+3n=0，解得x=，則C（，0），

∴==（n＞3）；

②連結(jié)AE交OD于P，如圖②，

∵點A（m，m²）關(guān)于y軸的對稱點為點E，

∴E（﹣m，m²），

∴OP=m²，

∵k=m+n，b=﹣mn，

∴D（0，﹣mn），

若四邊形AOED為菱形，則OP=DP，即﹣mn=2m²，所以n=﹣2m；

若四邊形AOED為正方形，則OP=AP，即﹣m=m²，解得m=﹣1，所以n=﹣2m=2．