【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BCDAC⊥AB,EBC的中點(diǎn),AD⊥AE

1)求證:AC2=CD·BC;

2)過EEG⊥AB,并延長EG至點(diǎn)K,使EK=EB

若點(diǎn)H是點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn),點(diǎn)FAC的中點(diǎn),求證:FH⊥GH

∠B=30°,求證:四邊形AKEC是菱形.

【答案】1)證明過程見解析;(2)證明過程見解析.

【解析】

1)欲證明AC2=CDBC,只需推知△ACD∽△BCA即可;(2連接AH.構(gòu)建直角△AHC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰對等角以及等量代換得到:∠FHG=∠CAB=90°,即FH⊥GH;

利用在直角三角形中,30度角所對的直角邊等于斜邊的一半、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半推知四邊形AKEC的四條邊都相等,則四邊形AKEC是菱形.

解:(1∵AC平分∠BCD,∴∠DCA=∠ACB

∵AC⊥AB,AD⊥AE

∴∠DAC+∠CAE=90°,∠CAE+∠EAB=90°,

∴∠DAC=∠EAB

∵EBC的中點(diǎn), ∴AE=BE,

∴∠EAB=∠ABC∴∠DAC=∠ABC,

∴△ACD∽△BCA,

=CD·BC;

2證明:連接AH∵∠ADC=∠BAC=90°,點(diǎn)H、D關(guān)于AC對稱,∴AH⊥BC

∵EG⊥AB,AE=BE,

點(diǎn)GAB的中點(diǎn),

∴HG=AG,∴∠GAH=∠GHA

點(diǎn)FAC的中點(diǎn),

∴AF=FH,∴∠HAF=∠FHA

∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°,

∴FH⊥GH;

②∵EK⊥ABAC⊥AB, ∴EK∥AC

∵∠B=30°,∴AC=BC=EB=EC

EK=EB,∴EK=AC

AK=KE=EC=CA,四邊形AKEC是菱形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線(a0)與x軸交于另一點(diǎn)A(,0),在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點(diǎn)B(2,t).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式;

(2)在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)C,滿足以B,O,C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2,求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)如圖2,若點(diǎn)M在這條拋物線上,且MBO=ABO,在(2)的條件下,是否存在點(diǎn)P,使得POC∽△MOB?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將大小相同的正三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案,其中第①個圖案中有6個小三角形和1個正六邊形;第②個圖案中有10個小三角形和2個正六邊形;第③個圖案中有14個小三角形和3個正六邊形;;按此規(guī)律排列下去,已知一個小三角形的面積為a,一個正六邊形的面積為b,則第⑧個圖案中所有的小三角形和正六邊形的面積之和為____________(結(jié)果用含ab的代數(shù)式表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,二次函數(shù)yax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),下列結(jié)論:其中正確的個數(shù)是( 。

①a0;

②b0

③c0;

⑤a+b+c0

A.1 B.2 C.3 D.4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線BCyx軸于點(diǎn)B,點(diǎn)Ax軸正半軸上,OC為△ABC的中線,C的坐標(biāo)為(m,

1)求線段CO的長;

2)點(diǎn)DOC的延長線上,連接AD,點(diǎn)EAD的中點(diǎn),連接CE,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,△CDE的面積為S,求St的函數(shù)解析式;

3)在(2)的條件下,點(diǎn)F為射線BC上一點(diǎn),連接DB、DF,且∠FDB=∠OBD,CE,求此時S值及點(diǎn)F坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知直線y=-2x+12分別與y軸,x軸交于AB兩點(diǎn),點(diǎn)My軸上,以點(diǎn)M為圓心的⊙M與直線AB相切于點(diǎn)D,連接MD.

(1)求證:△ADM∽△AOB.

(2)如果⊙M的半徑為2,請寫出點(diǎn)M的坐標(biāo),并寫出以點(diǎn)為頂點(diǎn),且過點(diǎn)M的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(3)(2)的條件下,試問在此拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以PA,M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?如果存在,請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線ACBD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)EBC上的一個動點(diǎn),連接DE,交AC于點(diǎn)F

1)如圖①,當(dāng)時,求的值;

2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)EBC的中點(diǎn)時,過點(diǎn)FFGBC于點(diǎn)G,求證:CG=BG

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線yx2x3x軸的交點(diǎn)為AD(AD的右側(cè)),與y軸的交點(diǎn)為C.

(1)直接寫出AD、C三點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)M在拋物線上,使得MAD的面積與CAD的面積相等,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為B,在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:點(diǎn)A,B,C都在⊙O上,連接AB,AC,點(diǎn)D,E分別在ACAB上,連接CE并延長交⊙O于點(diǎn)F,連接BD,BF,∠BDC﹣∠BFC2ABF

1)如圖1,求證:∠ABD2ACF;

2)如圖2,CEBD于點(diǎn)G,過點(diǎn)GGMAC于點(diǎn)M,若AMMD,求證:AEGD;

3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)AEBE87時,連接DE,且∠ADE30°.延長BD交⊙O于點(diǎn)H,連接AH,AH8,求⊙O的半徑.

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