Question

如圖所示，已知：AD是∠BAC的平分線，DE∥AB，DE＝AC，AD≠EC． (1) 求證：四邊形ADCE是等腰梯形． (2) 若△ADC的周長為16cm，AE＝3cm，AC－EC＝3cm，求四邊形ADCE的周長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

證明：由角平分線和平行線可推出一些相等的角，從而得OA＝OD，再由AC＝DE推出∠OCE＝∠OEC．則AD∥CE．因AD≠CE．所以能說明四邊形ADCE是梯形，再由已知條件易得△ADE≌△DAC，因此AE＝CD，故可證四邊形ADCE為等腰梯形． 　　∵AB∥DE(已知)，∴∠BAD＝∠ADE(兩直線平行內錯角相等)． 　　又∵∠BAD＝∠CAD(角平分線定義)，∴∠CAD＝∠ADE(等量代換)． 　　∴OA＝OD(等角對等邊)． 　　∵AC＝DE(已知)，∴OE＝OC(等式的性質)． 　　∴∠OEC＝∠OCE(等邊對等角)． 　　∵∠AOD＝∠COE(對頂角相等)， 　　∴∠CAD＝∠OCE． 　　∴AD∥CE(內錯角相等，兩直線平行)． 　　而AD≠CE． 　　∴四邊形ADCE是梯形． 　　又∵∠CAD＝∠ADE，AD＝AD，AC＝DE， 　　∴△ADE≌△DAC(SAS)． 　　∴AE＝DC(全等三角形對應邊相等)． 　　∴四邊形ADCE是等腰梯形．

(2)

解：因為四邊形ADCE是等腰梯形，由條件易求四邊形ADCE的周長． 　　∵四邊形ADCE是等腰梯形，∴AE＝CD＝3cm． 　　∴梯形ADCE的周長＝AD＋EC＋AE＋DC＝AD＋CE＋6， 　　而△ADC的周長＝AD＋DC＋AC＝16(cm)． 　　∴AD＋AC＝13cm． 　　∵AC－EC＝3cm， 　　∴AD＋AC－(AC－EC)＝10cm． 　　即AD＋EC＝10cm． 　　故梯形ADCE的周長為10cm＋6cm＝16cm． 　　說明：等腰梯形的判定，一般是先判定一個四邊形是梯形，然后再由“兩腰相等”或“同一底上的兩個角相等”來判定它是等腰梯形，在判定一個四邊形是梯形時，要判定一組對邊不平行常常有困難，故可用判定平行的兩邊不相等的方法來解決．