Question

【題目】等腰△ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，BE是∠ABC的平分線(xiàn)，交AC于E，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接DE，作EF∥AB于點(diǎn)F．

（1）求證四邊形BDEF是菱形；

（2）如圖以DF為一邊作矩形DFHG，且點(diǎn)E是此矩形的對(duì)稱(chēng)中心，求矩形另一邊的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）FH＝4.

【解析】

（1）先證明四邊形BDEF是平行四邊形，再根據(jù)DE＝AB＝BD，即可得到四邊形BDEF是菱形；

（2）先證明四邊形BEFH是平行四邊形，得到BE＝FH，再根據(jù)BE＝BC＝4，即可得到FH＝4．

解：（1）∵AB＝BC，BE是∠ABC的平分線(xiàn)，

∴E是AC的中點(diǎn)，且BE⊥AC，

又∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線(xiàn)，

∴DE∥BF，

又∵EF∥BD，

∴四邊形BDEF是平行四邊形，

又∵Rt△ABE中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴DE＝AB＝BD，

∴四邊形BDEF是菱形；

（2）連接EH，

∵點(diǎn)E是此矩形的對(duì)稱(chēng)中心，

∴D，E，H在同一直線(xiàn)上，

∵DE∥BF，

∴EH∥BF，

∵AB=BC，BE是∠ABC的角平分線(xiàn)，

∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且BE⊥AC，

∵EF∥AB，

∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴DF∥AC，

∴BE⊥DF，

又∵DFHG是矩形，

∴FH⊥DF，

∴BE∥FH，

∴四邊形BEHF是平行四邊形，

∴BE＝FH，

∵∠ABC＝120°，BE平分∠ABC，

∴∠EBF＝60°，

又∵∠BEC＝90°，

∴∠C＝30°，

∴BE＝BC＝4，

∴FH＝4．