Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線1與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．

①求線段PE長(zhǎng)度的最大值；

②點(diǎn)P將線段AC分割成長(zhǎng)、短兩條線段PA、PC，如果較長(zhǎng)線段與AC之比等于，則稱P為線段AC的“黃金分割點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出使得P為線段AC黃金分割點(diǎn)的m的值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），y=﹣x﹣1；（2）①當(dāng)x=時(shí)，PE的最大值為；②P為線段AC黃金分割點(diǎn)的m的值是或．

【解析】

（1）令y=0得到關(guān)于x的方程，解方程可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，將x=2代入拋物線的解析式求得對(duì)應(yīng)的y值可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得k和b的值即可；

（2）①設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2）則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），然后得到PE與x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得PE的最大值；

②根據(jù)黃金分割點(diǎn)，可得答案．

解（1）當(dāng)y=0時(shí)，解得：x1=﹣1或x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．

將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2﹣2x﹣3得：y=﹣3，∴C（2，﹣3）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1．

（2）①設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2）則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）

∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時(shí)，PE的最大值為．

②設(shè)P（m，﹣m﹣1）（﹣1＜m＜2），A（﹣1，0），C（2，﹣3）．

當(dāng)=時(shí)，=，解得：m=或m=＜－1（舍去）；

當(dāng)=時(shí)，=，解得：m=或m=（舍去）．

綜上所述：P為線段AC黃金分割點(diǎn)的m的值是或．