Question

10．如圖，在正方形ABCD中，點E在BC上，以AE邊作等腰Rt△AEF，∠AEF=90°，AE=EF，F(xiàn)G⊥BC于G．
（1）如圖1，求證：GF=CG；
（2）如圖2，AF交CD于點M，EF交CD于點N，當BE=3，DM=2時，求線段NC的長．

Answer 1

分析 （1）利用互余先判斷出，∠BAE=∠FEG，從而得出△ABE≌△EGF，最后用線段的和差即可；
（2）先判斷出，$\frac{AB}{HF}=\frac{BE}{HN}$和，$\frac{AD}{HF}=\frac{DM}{HM}$，從而找出HN與HM的關(guān)系，設(shè)出HN，再用線段的和差表示出CN，EC，最后判斷出△ECN∽△FHN，求出HN即可．

解答 解：（1）四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵FG⊥BC，
∴∠EGF=90°，
在△ABE和△EGF中$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠EGF=90°}\\{∠BAE=∠GEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EGF，
∴GF=BE，EG=AB，
∵AB=BC，
∴BC=EG，
∴BE=CG，
∴GF=CG，
（2）如圖2，過F作FH⊥CD，則∠FHC=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠FHC=∠BCD，
∴FH∥BC∥AD，
∴∠HFN=∠GEF，
由（1）知，∠GEF=∠BAE，
∴∠BAE=∠HFN，
∵∠FHN=∠ABE=90°，
∴△ABE∽△FHN，
∴$\frac{AB}{HF}=\frac{BE}{HN}$
∵AD∥HF，
∴$\frac{AD}{HF}=\frac{DM}{HM}$，
∵AB=AD，
∴$\frac{BE}{HN}=\frac{DM}{HM}$，
∵BE=3，DM=2，
∴$\frac{3}{HN}=\frac{2}{HM}$，
設(shè)HN=x，則HM=$\frac{2}{3}$x，
∵∠HCG=∠CGF=∠CHF=90°，
∴四邊形CGFH是矩形，
∵CG=FG，
∴矩形CGFH是正方形，
∴HF=CH=CG=BE=3，
∴CN=3-x，
∴BC=CD=CH+HM+DM=3+$\frac{2}{3}$x+2=5+$\frac{2}{3}$x，
∴EC=BC-BE=5+$\frac{2}{3}$x-3=$\frac{2}{3}$x+2，
∵∠CNE=∠HNF，∠ECN=∠FHN=90°，
∴△ECN∽△FHN，
∴$\frac{EC}{FH}=\frac{CN}{HN}$，
∴$\frac{\frac{2}{3}x+2}{3}=\frac{3-x}{x}$，
∴x=$\frac{3}{2}$或x=-9（舍），
∴NC=3-x=$\frac{3}{2}$．

點評 此題是正方形的性質(zhì)，主要考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線判斷出，△ABE∽△FHN，難點是作出輔助線并找出HN與HM的關(guān)系．