Question

19．如圖，ABCD是一張平行四邊形紙片，要求利用所學(xué)知識(shí)作出一個(gè)菱形，甲、乙兩位同學(xué)的作法如下：
甲：連接AC，作AC的中垂線交AD、BC于E、F，則四邊形AFCE是菱形．
乙：分別作∠A與∠B的平分線AE、BF，分別交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，則四邊形ABEF是菱形．
則關(guān)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的為（　　）

• A． 僅甲正確
• B． 僅乙正確
• C． 甲、乙均正確
• D． 甲、乙均錯(cuò)誤

Answer 1

分析 首先證明△AOE≌△COF（ASA），可得AE=CF，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定判定四邊形AECF是平行四邊形，再由AC⊥EF，可根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形判定出AECF是菱形；四邊形ABCD是平行四邊形，可根據(jù)角平分線的定義和平行線的定義，求得AB=AF，所以四邊形ABEF是菱形．

解答 解：甲的作法正確；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分線，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠EAO=∠BCA\\ AO=CO\\∠AOE=∠COF\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形；
乙的作法正確；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABEF是菱形．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形形的判定，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．