Question

【題目】如圖，矩形ABCD接于半徑為2.5的⊙O，AB＝4， 延長BA到E，使AE=，連接ED．

(1)求證：直線ED是⊙O的切線；

(2)連接EO交AD于F，求FO的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】分析：（1）連結BD．由ABCD是矩形，得到BD的長．在Rt△ABD中，由勾股定理得到AD的長．在Rt△AED中，由勾股定理得到ED2．在△BED中，由勾股定理得到BE2，從而得到BD2=BE2-ED2，由勾股定理的逆定理得到∠BDE＝90°，從而得到結論．

（2）過點O作OH⊥AB于H，由垂徑定理得到AH=BH=2．由三角形中位線定理得到OH=AD=1.5．在Rt△EHO中，由勾股定理得到EO的長．再由OH∥AD，得到，從而得到結論．

詳解：（1）連結BD．

∵ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD是直徑，∴BD＝5．

在Rt△ABD中，AD==3，

∠EAD＝180°-∠BAD＝90°．

在Rt△AED中，ED2=AD2+AE2=．

在△BED中，BE2=(4+ )2=，BD2=25，BE2-ED2=-=25，

∴BD2=BE2-ED2，∴∠BDE＝90°．

又∵BD是直徑，∴ED是⊙O的切線．

（2）過點O作OH⊥AB于H，則AH=BH=AB=2．

又∵OB=OD，∴OH=AD=1.5．

在Rt△EHO中，EO==．

∵∠OHB＝∠DAB＝90°，∴OH∥AD．

∴．

∴OF=．