【題目】如圖1,在矩形中,BC=3,動點從出發(fā),以每秒1個單位的速度,沿射線方向移動,作關于直線的對稱,設點的運動時間為
(1)若
①如圖2,當點B’落在AC上時,顯然△PCB’是直角三角形,求此時t的值
②是否存在異于圖2的時刻,使得△PCB’是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的t的值?若不存在,請說明理由
(2)當P點不與C點重合時,若直線PB’與直線CD相交于點M,且當t<3時存在某一時刻有結論∠PAM=45°成立,試探究:對于t>3的任意時刻,結論∠PAM=45°是否總是成立?請說明理由.
【答案】(1)①;②t=2或t=6或t=2(2)見解析.
【解析】
(1)①先利用勾股定理求出AC長,再根據(jù)△APB≌△APB′,繼而根據(jù)全等三角形的性質推導得出∠B=∠PB′C=90°,B′C= ,再證明,根據(jù)相似三角形的性質求出PB′=2-4,由此即可求得答案;
②根據(jù)題意分三種情況,分別畫出圖形,結合圖形分別討論求解即可;
(2)如圖,根據(jù)∠PAM=45°以及翻折的性質可以證明得到△DAM≌△B′AM,從而可得AD=AB′=AB,證得四邊形ABCD是正方形,繼而根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)翻折的性質以及全等三角形的知識進行推導即可求得答案.
(1)①∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∴AC=,
∵△APB≌△APB′,
∴∠AB′P=∠B=90°,AB′=AB=2,BP=B′P,
∴∠B=∠PB′C=90°,B′C=AC-AB′=,
又∵∠PCB′=∠ACB,
∴,
∴,
即,
∴PB′=2-4,
∴PB=2-4,
即t=2-4;
②如圖,當∠PCB′=90 °時,此時點B′落在BC上,
在Rt△AB′D中,∠D=90°,∴B′D=,
∴B′C=,
在△PCB′中,由勾股定理得:,
解得t=2;
如圖,當∠PCB′=90 °時,此時點B′在CD的延長線上,
在Rt△AB′D中,∠ADB′=90°,∴B′D=,
∴B′C=3,
在△PCB′中,由勾股定理得:,解得t=6;
當∠CPB′=90 °時,易得四邊形ABPB′為正方形,
∴BP=AB=2,
解得t=2;
綜上,t=2或t=6或t=2;
(2)如圖
∵∠PAM=45°,
∴∠2+∠3=45°,∠1+∠4=45°,
又∵翻折,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
又∵∠ADM=∠AB′M=90°,AM=AM,
∴△DAM≌△B′AM,
∴AD=AB′=AB,
∴四邊形ABCD是正方形,
如圖,
設∠APB=x,
∴∠PAB=90°-x,
∴∠DAP=x,
∵AD=AB′,AM=AM,∠ADM=∠AB′M=90°,
∴Rt△MDA≌Rt△B′AM(HL),
∴∠B′AM=∠DAM,
∵翻折,
∴∠PAB=∠PAB′=90°-x,
∴∠DAB′=∠PAB′-∠DAP=90°-2x,
∴∠DAM=∠DAB′=45°-x,
∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°.
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【題目】如圖所示,已知直線,被直線所截,,是平面內(nèi)任意一點(點不在直線,,上),設,.下列各式:①;②;③;④;⑤,的度數(shù)可能是( )
A. ①②③④B. ①②④⑤
C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
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【題目】某中學為打造書香校園,計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書,調查發(fā)現(xiàn),若購買甲種書柜3個、乙種書柜2個,共需資金1020元;若購買甲種書柜4個,乙種書柜3個,共需資金1440元.
(1)甲、乙兩種書柜每個的價格分別是多少元?
(2)若該校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共20個,其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量,學校至多能夠提供資金4320元,請設計幾種購買方案供這個學校選擇.
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【題目】已知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像的一個交點的橫坐標是-3.
(1)求的值,并在指定坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖像;
(2)根據(jù)圖像,直接寫出使一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時x的取值范圍 .
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【題目】某賓館有單人間、雙人間和三人間三種客房供游客租住,某旅行團有18人準備同時租用這三種客房共9間,且每個房間都住滿,則租房方案共有______種.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,點D、E分別為AB、AC上的點,且DE∥BC.△ADE繞點A逆時針旋轉至點B、A、E在同一條直線上,連接BD、EC.下列結論:①△ADE的旋轉角為120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC,其中正確的有____________.
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【題目】閱讀理解:對于一些次數(shù)較高或者是比較復雜的式子進行因式分解時,換元法是一種常用的方法,下面是某同學用換元法對多項式進行因式分解的過程.
解:設
原式(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
回答下列問題:
(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的__________(填代號).
A.提取公因式 B.平方差公式
C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式
(2)按照“因式分解,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止”的要求,該多項式分解因式的最后結果為______________.
(3)請你模仿以上方法對多項式進行因式分解.
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【題目】說明:從(A),(B)兩題中任選一題做答.
春節(jié)前夕,便民超市把一批進價為每件12元的商品,以每件定價20元銷售,每天能售出240件.銷售一段時間后發(fā)現(xiàn):如果每件漲價1元,那么每天就少售20件;如果每件降價1元,那么每天能多售出40件.
(A)在降價的情況下,要使該商品每天的銷售盈利為1800元,每件應降價多少元?
(B)為了使該商品每天銷售盈利為1980元,每件定價多少元?
我選擇:
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【題目】如圖所示,某船上午11時30分在A處觀測海島B在北偏東60°方向,該船以每小時10海里的速度航行到C處,再觀測海島B在北偏東30°方向,又以同樣的速度繼續(xù)航行到D處,再觀測海島在北偏西30°方向,當輪船到達C處時恰好與海島B相距20海里,請你確定輪船到達C處和D處的時間.
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