Question

【題目】如圖，觀察每個正多邊形中的變化情況，解答下列問題：

……

(1)將下面的表格補充完整：

正多邊形的邊數(shù)	3	4	5	6	……
的度數(shù)	_________	_________	_________	_________	……	_________

(2)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個正邊形，使其中的？若存在，寫出的值；若不存在，請說明理由.

(3)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個正邊形，使其中的？若存在，寫出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)60°，45°，36°，30°，；(2)當(dāng)多邊形是正九邊形，能使其中的；(3)不存在，理由見解析.

【解析】

（1）首先根據(jù)多邊形的內(nèi)角公式：(n-2)×180°，將n＝3、4、5、6、8、12代入公式分別計算出各多邊形的內(nèi)角和；然后再根據(jù)多邊形的外角和為360°，即可得到各多邊形的內(nèi)角和，進而完成表格.（2）依據(jù)題意得∠α=20°=，即可求出n的值。（3）依據(jù)題意∠α=21°=，求出n的值是否為正整數(shù)即可.

解：(1)填表如下：

正多邊形的邊數(shù)	3	4	5	6	……	n
的度數(shù)					……

，，，，；(可以觀察歸納出來，也可以計算出來).

(2)存在一個正邊形，使其中的

理由是：根據(jù)題意得：，

解得：，

即當(dāng)多邊形是正九邊形，能使其中的；

(3)不存在，理由如下：

假設(shè)存在正邊形使得，得，

解得：，與是正整數(shù)矛盾，

所以不存在正邊形使得．