【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-3,0),B(0, ),點D與點A關(guān)于y軸對稱,C在第一象限內(nèi)且四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)求點C、點D的坐標(biāo)并用尺規(guī)作圖確定兩點位置(保留作圖痕跡)
(2)若半徑為1的⊙P從點A出發(fā),沿A—D—B—C以每秒4個單位長的速度勻速移動,同時⊙P的半徑以每秒0.5個單位長的速度增加,運動到點C時運動停止,當(dāng)運動時間為t秒時
①t為何值時,⊙P與y軸相切?
②在整個運動過程中⊙P與y軸有公共點的時間共有幾秒?簡述過程.
(3)若線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,線段AB掃過的面積是多少?
【答案】(1)C(6,3), D(3,0) ;(2)① , ,, ;②;(3)
【解析】試題分析:(1)由題可知:AD=AB=6,∠DAB=60°,再根據(jù)條件就可求出OB及BC的長,從而得到點C和點D的坐標(biāo).以點A為圓心,AB為半徑畫弧,與x軸交點即為點D;以點D為圓心,AB為半徑畫弧,以點B為圓心,AD為半徑畫弧,兩弧的交點即為點C.
(2)①分點P在AO、OD、BD、BC上四種情況討論,然后在直角三角形中運用特殊角的三角函數(shù)值建立方程,就可解決問題;
②只需求出三個臨界位置(點P分別在AO、OD、BD、BC上,且⊙P與y軸相切)對應(yīng)的t的值,就可解決問題.
(3)過點O作OH⊥AB,垂足為H,過點O作OH′⊥A′B′,垂足為H′,采用割補法將S陰影轉(zhuǎn)化為S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′就可解決問題.
試題解析:
(1)由題可知:AD=AB=6,∠DAB=60°.
∵∠AOB=90°,∴AO=3,OB=3
∴OD=AD-OA=3.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴BC=AD=6.
∴點C的坐標(biāo)為(6,3 ),點D的坐標(biāo)為(3,0).
作法:①以點A為圓心,AB為半徑畫弧,與x軸交點即為點D;
②以點D為圓心,AB為半徑畫。灰渣cB為圓心,AD為半徑畫弧,兩弧的交點即為點C.
如圖1所示.
(2)①當(dāng)點P在AO上時,如圖所示:
設(shè)時間為t,則r=1+0.5t,此時⊙P與y軸相切,
則AP=4t
∵AP+OP=AO
∴4t+1+0.5t=3,
∴t= ;
當(dāng)點P在OD上時,如圖所示:
設(shè)時間為t,則r=1+0.5t,此時⊙P與y軸相切,
OP=4t-3,
∴4t-3=1+0.5t,
∴t= ,
當(dāng)點P在BD上時,作PE OB,如圖所示:
設(shè)時間為t,則r=1+0.5t,此時⊙P與y軸相切,
由PD=4t-6,
∵BD= ,BP=BD-DP,
∴BP=6-(4t-6)=12-4t,
∵cos∠ODB= , ∠ODB=∠EPB
∴cos∠EPB=
∴t=2;
當(dāng)點P在BC上時,如圖所示:
設(shè)時間為t,則r=1+0.5t,此時⊙P與y軸相切,
PB=4t-12
∴4t-12=1+0.5t
∴t= ;
∴當(dāng)運動時間為 、 、、 時,⊙P與y軸相切;
②當(dāng)圓P在AO上與y軸相切至圓P在OD上與y軸相切時,圓與y軸有交點,則時間為: ,當(dāng)圓P在BD上與y軸相切至圓P在BC上與y軸相切時,圓與y軸有交點,則時間為: ,所以總時間為 ;
(3)若線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,線段AB掃過的圖形如圖8所示,
過點O作OH⊥AB,垂足為H,過點O作OH′⊥A′B′,垂足為H′,如圖所示,
則有OH=OAsin∠HAO=3× ,
同理可得:OH′=,
∵S弓形AR=S扇形OAR-S正△OAR= ,
S扇形OBB′= ,
S扇形OHH′=
S△OHB=S△OH′B′
∴S陰影=S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′
=S弓形AR+S扇形OBB′-S扇形OHH′
=
=
∴線段AB掃過的面積是。
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【題目】關(guān)于x的二次函數(shù),其中為銳角,則:
① 當(dāng)為30°時,函數(shù)有最小值-;② 函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸必有三個交點. ③ 當(dāng)<60°時,函數(shù)在x >1時,y隨 x的增大而增大;④ 無論銳角怎么變化,函數(shù)圖象必過定點。其中正確的結(jié)論有( )
A. ①③④ B. ①④ C. ②③ D. ①②④
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【題目】近似數(shù)1.30是由數(shù)x四舍五入得到的數(shù),則數(shù)x的取值范圍是( )
A.1.25≤x<1.35
B.1.295≤x<1.305
C.1.25<x<1.35
D.1.295<x<1.305
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點A的坐標(biāo)為(﹣1,1),AB平行于x軸,則點C的坐標(biāo)為( )
A.(2,5)
B.(3,1)
C.(﹣1,4)
D.(3,5)
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【題目】用不等號填空:
(1)-2________5;(2)|m|(m≠0)________0;(3)a2+1________0.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.矩形OABC的對角線OB,AC相交于點D,且BE∥AC,AE∥OB.如果OA=3,OC=2,則經(jīng)過點E的反比例函數(shù)解析式為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】下列計算正確的是( )
A. x2+x2=x4 B. x2+x3=2x5 C. x2y-2x2y=-x2y D. 3x-2x=1
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【題目】把二次函數(shù)y=x2﹣2x+3配方成y=(x﹣m)2+k的形式,以下結(jié)果正確的是( 。
A. y=﹣(x﹣1)2+4B. y=(x﹣1)2+2
C. y=(x+1)2+2D. y=(x﹣2)2+3
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