【題目】已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,D重合),連接AE,以AE為邊在AE的右側(cè)作菱形AEFG,且∠AEF=60°.

(1)如圖1,若點(diǎn)F落在線段BD上,請(qǐng)判斷:線段EF與線段DF的數(shù)量關(guān)系是.
(2)如圖2,

若點(diǎn)F不在線段BD上,其它條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)給出判斷并予以證明;
(3)若點(diǎn)C,E,G三點(diǎn)在同一直線上,其它條件不變,請(qǐng)直接寫出線段BE與線段BD的數(shù)系.

【答案】
(1)

解:如圖1,連接AF,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,∠ABO= ∠ABC=30°,

∴∠OAE=∠OAF=30°,

∴∠DAF=30°=∠ADO,

∴AF=FD,

∵AF=EF,

∴EF=FD;

∵∠AEF=60°,

∴∠BAE=30°=∠ABO,

∴AE=BE


(2)

解:成立,如圖3,

連接CE,AF,

∵四邊形ABCD是菱形,四邊形AEFG是菱形,

∴AD=CD,AE=EF,BD垂直平分AC,∠ABC=∠ADC=60°,

∴∠ADC=∠AEF=60°,

∴△ACD和△AEF是等邊三角形,

∴AC=AD,AE=AF=EF,∠CAD=∠EAF=60°,

∴∠CAE=∠DAF,

在△ACE和△ADF中, ,

△ACE≌△ADF,

∴EC=DF,

∵BD垂直平分AC,

∴EC=AE,

∴DF=AE=EF


(3)

解:∵AE=CE,

∴∠ACE=∠CAE,

∵點(diǎn)C,E,G在同一條直線上,

∴∠AEG=2∠CAE=30°,

∴∠CAE=15°,

∵∠BAO=60°°,

∴∠BAE=75°,

∵∠ABO= ∠ABC=30°,

∴∠AEB=75°=∠BAE,

∴BE=AB,

在Rt△AOB中,∠ABO=30°,

∴cos∠ABO= = ,

∴OB= AB= BE,

∴BD=2OB= BE


【解析】(1)先利用菱形的性質(zhì)得出∠ABO=∠ADO=30°,AC⊥BD,即可求出∠FAD=30°即可得出結(jié)論;(2)先判斷出△ACD和△AEF是等邊三角形,進(jìn)而得出∠CAE=∠DAF,即可判斷出△ACE≌△ADF,即可得出結(jié)論;(3)先求出∠CAE=15°,進(jìn)而判斷出BE=AB,再找出OB與AB的關(guān)鍵,代換即可得出結(jié)論.

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3)試說明無論AC取何值(不超過12cm),DE的長(zhǎng)不變;

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A.﹣ <x0<0
B.0<x0
C. <x0<1
D.1<x0

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