分析:(1)已知了拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,即x=-
=1,將已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中,聯(lián)立三式即可求出拋物線的解析式.
(2)本題要分兩種情況討論:△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC,解題思路都是通過(guò)相似三角形得出的關(guān)于BD、BC、BO、BA的比例關(guān)系式求出BD的長(zhǎng),然后根據(jù)∠OBC=45°的特殊條件用BD的長(zhǎng)求出D點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)本題求解的關(guān)鍵是找出幾個(gè)特殊位置.
①由于∠PCO是銳角,因此要先找出∠PCO是直角時(shí)的值,以此來(lái)確定P的大致取值范圍.去C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′(2,3),那么當(dāng)P、C′重合時(shí),∠PCO=90°,因此∠PCO若為銳角,則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)必大于2.
②當(dāng)∠PCO=∠ACO時(shí),根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線對(duì)稱軸的解析式可知:∠ACO=∠ECO,因此直線CE與拋物線的交點(diǎn)(除C外)就是此時(shí)P點(diǎn)的位置.據(jù)此可求出此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo).
根據(jù)上面兩種情況進(jìn)行判定即可.
解答:解:(1)∵二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,且過(guò)點(diǎn)(2,3)和(-3,-12),
∴由
解得
.
∴此二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x
2+2x+3.
(2)假設(shè)存在直線l:y=kx(k≠0)與線段BC交于點(diǎn)D(不與點(diǎn)B,C重合),使得以B,O,D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似.
在y=-x
2+2x+3中,令y=0,則由-x
2+2x+3=0,
解得x
1=-1,x
2=3.
∴A(-1,0),B(3,0).
令x=0,得y=3.
∴C(0,3).
設(shè)過(guò)點(diǎn)O的直線l交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E.
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0).
∴|AB|=4,|OB|=|OC|=3,∠OBC=45°.
∴|BC|=
=3
.
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC,
已有∠B=∠B,則只需
=,①或
=②成立.
若是①,則有|BD|=
=
=
.
而∠OBC=45°,
∴|BE|=|DE|.
∴在Rt△BDE中,由勾股定理,
得|BE|
2+|DE|
2=2|BE|
2=|BD|
2=(
)
2.
解得|BE|=|DE|=
(負(fù)值舍去).
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-
=
.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
,
).
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=kx(k≠0)中,求得k=3.
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=3x.
或求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+3,則與直線AC平行的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=3x.
此時(shí)易知△BOD∽△BAC,再求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3.聯(lián)立y=3x,y=-x+3求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
,
).
若是②,則有|BD|=
=
=2
.
而∠OBC=45°,
∴|BE|=|DE|.
∴在Rt△BDE中,由勾股定理,
得|BE|
2+|DE|
2=2|BE|
2=|BD|
2=(2
)
2.
解得|BE|=|DE|=2(負(fù)值舍去).
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,2).
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=kx(k≠0)中,求得k=2.
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x.
∴存在直線l:y=3x或y=2x與線段BC交于點(diǎn)D(不與點(diǎn)B,C重合),
使得以B,O,D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似,且點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為(
,
)或(1,2).
(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)C(0,3),E(1,0)的直線y=kx+3(k≠0)與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P.
將點(diǎn)E(1,0)的坐標(biāo)代入y=kx+3中,
求得k=-3.
∴此直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+3.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-3x+3),
并代入y=-x
2+2x+3,得x
2-5x=0.
解得x
1=5,x
2=0(不合題意,舍去).
∴x=5,y=-12.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,-12).
此時(shí),銳角∠PCO=∠ACO.
又∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1,
∴點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)C'的坐標(biāo)為(2,3).
∴當(dāng)x
p>5時(shí),銳角∠PCO<∠ACO;
當(dāng)x
p=5時(shí),銳角∠PCO=∠ACO;
當(dāng)2<x
p<5時(shí),銳角∠PCO>∠ACO.