Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過(guò)點(diǎn)（2，3）和（-3，-12）．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B，C重合），則是否存在這樣的直線l，使得以B，O，D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角∠PCO與∠ACO的大小（不必證明），并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x_p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，即x=-

b

2a

=1，將已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，聯(lián)立三式即可求出拋物線的解析式．
（2）本題要分兩種情況討論：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解題思路都是通過(guò)相似三角形得出的關(guān)于BD、BC、BO、BA的比例關(guān)系式求出BD的長(zhǎng)，然后根據(jù)∠OBC=45°的特殊條件用BD的長(zhǎng)求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）本題求解的關(guān)鍵是找出幾個(gè)特殊位置．
①由于∠PCO是銳角，因此要先找出∠PCO是直角時(shí)的值，以此來(lái)確定P的大致取值范圍．去C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（2，3），那么當(dāng)P、C′重合時(shí)，∠PCO=90°，因此∠PCO若為銳角，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)必大于2．
②當(dāng)∠PCO=∠ACO時(shí)，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線對(duì)稱軸的解析式可知：∠ACO=∠ECO，因此直線CE與拋物線的交點(diǎn)（除C外）就是此時(shí)P點(diǎn)的位置．據(jù)此可求出此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
根據(jù)上面兩種情況進(jìn)行判定即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過(guò)點(diǎn)（2，3）和（-3，-12），
∴由

- b 2a =1 4a+2b+c=3 9a-3b+c=-12

解得

a=-1 b=2 c=3

．
∴此二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²+2x+3．

（2）假設(shè)存在直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B，C重合），使得以B，O，D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似．
在y=-x²+2x+3中，令y=0，則由-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)O的直線l交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|=

32+32

=3

2

．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，則只需

|BD|

|BC|

=

|BO|

|BA|

，①或

|BO|

|BC|

=

|BD|

|BA|

②成立．
若是①，則有|BD|=

|BO|•|BC|

|BA|

=

3×3 2

4

=

9 2

4

．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（

9 2

4

）²．
解得|BE|=|DE|=

9

4

（負(fù)值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-

9

4

=

3

4

．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

4

，

9

4

）．
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=3x．
或求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+3，則與直線AC平行的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=3x．
此時(shí)易知△BOD∽△BAC，再求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3．聯(lián)立y=3x，y=-x+3求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

4

，

9

4

）．
若是②，則有|BD|=

|BO|•|BA|

|BC|

=

3×4

3 2

=2

2

．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（2

2

）²．
解得|BE|=|DE|=2（負(fù)值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．
將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=2x．
∴存在直線l：y=3x或y=2x與線段BC交于點(diǎn)D（不與點(diǎn)B，C重合），
使得以B，O，D為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似，且點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為（

3

4

，

9

4

）或（1，2）．

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)C（0，3），E（1，0）的直線y=kx+3（k≠0）與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P．
將點(diǎn)E（1，0）的坐標(biāo)代入y=kx+3中，
求得k=-3．
∴此直線的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+3．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-3x+3），
并代入y=-x²+2x+3，得x²-5x=0．
解得x₁=5，x₂=0（不合題意，舍去）．
∴x=5，y=-12．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-12）．
此時(shí)，銳角∠PCO=∠ACO．
又∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，
∴點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（2，3）．
∴當(dāng)x_p＞5時(shí)，銳角∠PCO＜∠ACO；
當(dāng)x_p=5時(shí)，銳角∠PCO=∠ACO；
當(dāng)2＜x_p＜5時(shí)，銳角∠PCO＞∠ACO．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合體，考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)．