Question

【題目】已知拋物線 y ax2 bx c a 0經(jīng)過(guò)點(diǎn) A2, 0、 B 5, 0.

（1）用含 a 的代數(shù)式表示b 、c ；

（2）若點(diǎn)C 6, 4在拋物線上，在拋物線上找一點(diǎn) P ，使 x 軸恰好平分CAP ，若存在求出點(diǎn) P ，并求出此時(shí)ACP 的面積；

（3）在（2）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使tan AQC 2 ，若存在求出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）b=-3a, c=-10a (2) P(4，3)；；（3）或

【解析】

（1）把A2, 0、 B 5, 0代入解析式可得方程組，求解可得答案；

（2）將C 6, 4代入，求得函數(shù)解析式，設(shè)存在點(diǎn)，使x 軸恰好平分CAP，則點(diǎn)P關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)Q在AC上，,且，求出直線AC解析式，再將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入，可得m的值，則得到P（4，3），進(jìn)而得到三解形ACP的面積；

（3）由 tan AQC 2 得 ，在Rt△ACE中， ，設(shè)△ACQ的外接圓圓心為D(m,n),連接AD交圓D于P,則APC＝AQC,∠ACP=90° ，，在Rt△ACP中，，得△ACQ的外接圓直徑，半徑為5.設(shè)△ACQ的外接圓圓心為D(m,n),可得到方程組，解方程組得到D的坐標(biāo)為D(1,-4)或（3，0），再利用勾股定理解Rt△DHQ，得到QH的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（1）把A2, 0、 B 5, 0代入解析式可得：

解得b=-3a, c=-10a

(2) 由點(diǎn)C 6, 4在拋物線上，得

解得，，

故解析式為

如圖，設(shè)存在點(diǎn)，使x 軸恰好平分CAP，則點(diǎn)P關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)Q在AC上，,且，

∵A(-2,0),C(6,-4),

∴可得直線AC的解析式為：

∴

解得

∴P(4，3)

∴

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵ tan AQC 2

∴

∵A(-2,0),C(6,-4),

∴AE=8,CE=4

在Rt△ACE中，

設(shè)△ACQ的外接圓圓心為D(m,n),連接AD交圓D于P,則

APC＝AQC,∠ACP=90°，

∴

在Rt△ACP中

∴AP

∴圓D的半徑為5

∴AD=DC=5，

∴

解得

當(dāng)D(1,-4)時(shí)，

在Rt△DHQ中，DH=,DQ=5,

∴

∴

當(dāng)D(3,0)時(shí)，

在Rt△DHQ中，DH=,DQ=5,

∴

∴

綜上所述，點(diǎn)或.