【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且BD=BC,延長AD到E,且有∠EBD=∠CAB.

1求證:BE是⊙O的切線;

2若BC=,AC=5,求圓的直徑AD及切線BE的長.

【答案】1詳見解析;2R=3,BE=

【解析】

試題分析:1連接OB,根據(jù)已知條件易證EBD=CAB,繼而得到BAD=EBD,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角即可證得結(jié)論;2連接CD,交OB于點(diǎn)F,易證OF為三角形ADC的中位線,根據(jù)三角形的中位線定理求得OF,再用平行線分線段成比例定理求出半徑R,最后用切割線定理即可.

試題解析:1如圖,

連接OB,BD=BC,

∴∠CAB=BAD,

∵∠EBD=CAB,

∴∠BAD=EBD,

AD是O的直徑,

∴∠ABD=90°,OA=BO,

∴∠BAD=ABO,

∴∠EBD=ABO,

∴∠OBE=EBD+OBD=ABD+OBD=ABD=90°

點(diǎn)B在O上,

BE是O的切線,

2如圖2,

設(shè)圓的半徑為R,連接CD,

AD為O的直徑,

∴∠ACCD=90°,

BC=BD,

OBCD,

OBAC,

OA=OD,

OF=AC=,

四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形,

∴∠BDE=ACB,

∵∠DBE=ACB,

∴△DBE∽△CAB,

,

DE=,

∵∠OBE=OFD=90°,

DFBE,

,

,

R>0,

R=3,

BE是O的切線,

BE=

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