Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸交于A點，與y軸交于B點：拋物線y=x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點，且點D的坐標為（1，0）．

（1）求點B的坐標；

（2）求該拋物線的解析式；

（3）求四邊形BDEC的面積S；

（4）在x軸上是否存在點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（0，1）；（2）y=x2-x+1；（3）4.5；（4）點P的坐標為（，0）或（，0）或（1，0）或（3，0）.

【解析】

（1）在一次函數(shù)y=x+1中，令x=0，即可求出點B的坐標；

（2）將點B、D的坐標代入二次函數(shù)解析式，求出b、c的值，即可求出二次函數(shù)的解析式；

（3）兩解析式聯(lián)立方程求得B、C的坐標，令y=x2-x+1=0，求得D、E的坐標，然后根據(jù)梯形和三角形的面積公式求得即可；

（4）設(shè)P（x，0），求得PB2=x2+1，PC2=（x-4）2+9，BC2=42+（3-1）2=20，然后分三種情況分別討論求得即可．

（1）∵一次函數(shù)y=x+1與y軸的交點為B，

令x=0，可得y=1，

∴B（0，1）；

（2）將B（0，1），D（1，0）的坐標代入y=x2+bx+c得，

，

解得：，

∴解析式為：y=x2-x+1；

（3）∵二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于B、C兩點，

∴，

解得：，，

∴C（4，3），

解x2-x+1=0，得x=1和x=2，

∴D（1，0），E（2，0），

∴S=（1+3）×4-×1×1-（4-2）×3=4.5；

（4）設(shè)P（x，0），

∵B（0，1），C（4，3），

∴PB2=x2+1，PC2=（x-4）2+9，BC2=42+（3-1）2=20，

①當(dāng)∠PBC=90°時，則PB2+BC2=PC2，

即x2+1+20=（x-4）2+9，

解得x=，

∴P1（，0）；

②當(dāng)∠PCB=90°時，則PC2+BC2=PB2，

即x2+1=（x-4）2+9+20，

解得x=，

∴P2（，0）；

③當(dāng)∠BPC=90°時，則PB2+PC2=BC2，

即x2+1+（x-4）2+9=20，

解得x=1或x=3，

∴P3（1，0），P4（3，0）；

∴在x軸上存在點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形是直角三角形，點P的坐標為（，0）或（，0）或（1，0）或（3，0）．