【題目】如圖1,在△ABC中,BD⊥AC于點(diǎn)D.
(1)若∠C=∠ABC=2∠A,則∠DBC= °;
(2)若∠A=2∠CBD,求證:∠ACB=∠ABC;
(3)如圖2,在(2)的條件下,E是AD上一點(diǎn),F是AB延長線上一點(diǎn),連接BE、CF,使∠BEC=∠CFB,∠BCF=2∠ABE,求∠EBC的度數(shù).
【答案】(1)18;(2)見解析;(3)∠EBC=60°.
【解析】
(1)由于∠C=∠ABC=2∠A=2α,所以利用三角形內(nèi)角和定理即可求出α的值,從而可求出∠DBC的值;
(2)由BD⊥AC,所以∠BDC=∠ADB=90°,所以∠DCB+∠DBC=90°,∠A+∠ABD=90°,所以∠ACB=90°﹣∠DBC,∠ABD=90°﹣∠A,所以∠ABD=90°﹣2∠DBC,又易證∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°﹣∠DBC,所以∠ACB=∠ABC;
(3)由于∠ABC=∠F+∠BCF,∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠BCF=2∠ABE,所以∠EBC=∠F+∠ABE,易證∠ACB=2∠ABE+∠F,∠F+∠ABE+2∠ABE+∠F+∠F=180°,從而可求出∠F+∠ABE=60°,即∠EBC=60°
解:(1)∵設(shè)∠A=α
∴∠C=∠ABC=2α,
∴α+2α+2α=180°,
∴α=36°,
∴∠C=2α=72°,
∴∠DBC=90°﹣∠C=18°
(2)∵BD⊥AC,
∴∠BDC=∠ADB=90°,
∴∠DCB+∠DBC=90°
∠A+∠ABD=90°,
∴∠ACB=90°﹣∠DBC
∠ABD=90°﹣∠A,
∵∠A=2∠DBC,
∴∠ABD=90°﹣2∠DBC
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC
=90°﹣2∠DBC+∠DBC
=90°﹣∠DBC,
∴∠ACB=∠ABC,
(3)∵∠ABC=∠F+∠BCF
∠ABC=∠ABE+∠EBC
∠BCF=2∠ABE
∴∠EBC=∠F+∠ABE,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠ACB=2∠ABE+∠F,
∵∠F=∠BEC
∠EBC+∠ECB+∠BEC=180°,
∴∠F+∠ABE+2∠ABE+∠F+∠F=180°,
∴3∠F+3∠ABE=180°,
∴∠F+∠ABE=60°,
∴∠EBC=60°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠ABO=40°,則下列結(jié)論:①∠BOE=70°;②OF平分∠BOD;③∠POE=∠BOF;④∠POB=2∠DOF.其中正確結(jié)論有_____填序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將一塊含有45°角的直角三角板如圖放置,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),頂點(diǎn)B恰好落在第一象限的雙曲線上,現(xiàn)將直角三角板沿x軸正方向平移,當(dāng)頂點(diǎn)A恰好落在該雙曲線上時(shí)停止運(yùn)動,則此時(shí)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為( )
A.( ,0)
B.(2,0)
C.( ,0)
D.(3,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有這樣一個(gè)問題:探究同一平面直角坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)y= x與y= (k≠0)的圖象性質(zhì).
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對函數(shù)y= x與y= ,當(dāng)k>0時(shí)的圖象性質(zhì)進(jìn)行了探究.
下面是小明的探究過程:
(1)如圖所示,設(shè)函數(shù)y= x與y= 圖象的交點(diǎn)為A,B,已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣k,﹣1),則B點(diǎn)的坐標(biāo)為;
(2)若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn).
①設(shè)直線PA交x軸于點(diǎn)M,直線PB交x軸于點(diǎn)N.求證:PM=PN.
證明過程如下,設(shè)P(m, ),直線PA的解析式為y=ax+b(a≠0).
則 ,
解得
∴直線PA的解析式為
請你把上面的解答過程補(bǔ)充完整,并完成剩余的證明.
②當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,k)(k≠1)時(shí),判斷△PAB的形狀,并用k表示出△PAB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等邊△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,點(diǎn)E在AC的延長線上,DE=DA(如圖1).
(1)求證:∠BAD=∠EDC;
(2)若點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)為M(如圖2),連接DM,AM.求證:DA=AM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為(m,0)和(n,0),則當(dāng)x=m+n時(shí),y的值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0,其中k為常數(shù).
(1)求證:無論k為何值,方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根;
(2)已知函數(shù)y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的圖象不經(jīng)過第三象限,求k的取值范圍;
(3)若原方程的一個(gè)根大于3,另一個(gè)根小于3,求k的最大整數(shù)值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在和中, ,, .
(1)若三點(diǎn)在同一直線上,連接交于點(diǎn),求證: .
(2)在第(1)問的條件下,求證: ;
(3)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖2,那么第(2)問中的結(jié)論是否依然成立?若成立,請證明你的結(jié)論:若不成立,請說明理由.
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