Question

19．如圖，在正方形ABCD中，點E在邊AB上（點E與點A，B不重合）．過點E作FG⊥DE，F(xiàn)G與邊BC相交于點F，與邊AD的延長線相交于點G．
（1）請猜想BF，AG，AE的長度之間具有怎樣的等量關(guān)系，并證明你所得到的結(jié)論．
（2）連接DF，如果正方形的邊長為2，設(shè)AE=x，△DFG的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)自變量的取值范圍．
（3）如果正方形的邊長為2，F(xiàn)G的長為$\frac{5}{2}$，求點C到直線DE的距離．

Answer 1

分析 （1）要尋找3條線段的數(shù)量關(guān)系，往往采用作輔助線截長或補短的方法，然后找到其中的關(guān)系，本題證明三角形全等是關(guān)鍵；
（2）由（1）可知DE=FG，∴△DGF的底與高可以關(guān)鍵勾股定理用含x的式子表示出來，所以解析式就可以表示出來；
（3）要解決本題，關(guān)鍵題意作出輔助線是關(guān)鍵，利用三角形的面積公式建立兩個不同的式子是問題解決．

解答 解：（1）BF+AG=AE．
證明：如圖1，過點F作FH⊥DA，垂足為H，
∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，
∴四邊形ABFH是矩形，
∴FH=AB=DA，
∵DE⊥FG，
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA，
又∴∠DAE=∠FHG=90°，
∴△FHG≌△DAE，
∴GH=AE，即HA+AG=AE，
∵BF=HA，
∴BF+AG=AE．
（2）∵△FHG≌△DAE，
∴FG=DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，
∵S_△DGF=$\frac{1}{2}$FG•DE，
∴y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$，
∴解析式為：y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$，函數(shù)自變量的取值范圍為0＜x＜2；
（3）如圖2，連接CE，作CP⊥DE于P，S_△CDE=$\frac{1}{2}$×CD•AD=2，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×DE•CP=2，
∵DE=FG=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{2}$•CP=2，
∴CP=$\frac{8}{5}$，
∴點C到直線DE的距離為$\frac{8}{5}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出∠G=∠DEA，進而得出△FHG≌△DAE是解決問題的關(guān)鍵．作輔助線是難點．