Question

將拋物線y=

1

3

x²沿x軸作左右平移，記平移后的拋物線為C，其頂點為P．拋物線C與y軸交于點E，與直線y=

3

3

x+3交于兩點，其中一個交點為F．當線段EF平行x軸．求平移后的拋物線C對應的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：設平移距離為a，分向右平移和向左平移兩種情況利用二次函數(shù)的對稱性表示點F的坐標，然后代入直線解析式求出函數(shù)值，再求出平移后的拋物線與y軸的交點，然后列出方程求解即可．

解答：解：設平移距離為a，若向右平移，則拋物線解析式為y=

1

3

（x-a）²，
點F的橫坐標為2a，
∵線段EF平行x軸，
∴點E、F的縱坐標相等，
∴

1

3

（0-a）²=

3

3

×2a+3，
整理得，x²-2

3

a-9=0，
解得a₁=3

3

，a₂=-

3

（舍去），
∴平移后的拋物線C對應的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

3

（x-3

3

）²，
若向左平移，則拋物線解析式為y=

1

3

（x+a）²，
點F的橫坐標為-2a，
∵線段EF平行x軸，
∴點E、F的縱坐標相等，
∴

1

3

（0-a）²=

3

3

×（-2a）+3，
整理得，x²+2

3

a-9=0，
解得a₁=-3

3

（舍去），a₂=

3

，
∴平移后的拋物線C對應的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

3

（x+

3

）²，
綜上所述，平移后的拋物線C對應的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

3

（x-3

3

）²或y=

1

3

（x+

3

）²．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)EF與x軸平行得到點E、F的縱坐標相等是解題的關(guān)鍵，利用頂點的變化確定拋物線解析式的變化求解更簡便．