Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點A的坐標為（，），點D的坐標為（，），且AB∥y軸，AD∥x軸． 點P是拋物線上一點，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點 F．

（1）直接寫出點的坐標；

（2）若點P在第二象限，當四邊形PEOF是正方形時，求正方形PEOF的邊長；

（3）以點E為頂點的拋物線經(jīng)過點F，當點P在正方形ABCD內(nèi)部(不包含邊)時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）B (3，3)；（2）正方形的邊長為3；（3）＞3或＜.

【解析】

（1）先利用A點和D點坐標得到正方形ABCD的邊長為4，然后寫出B點坐標；

（2）設(shè)點P（x，x2+2x），利用正方形的性質(zhì)得到PE=PF，即x2+2x=-x，然后解方程求出x即可得到正方形PEOF的邊長；

（3）設(shè)P（m，m2+2m）（m≠0），則E（m，0），F（0，m2+2m），利用頂點式表示以E為頂點的拋物線解析式為y=a（x-m）2，再把F（0，m2+2m）代入得m=，接著求出拋物線y=x2+2x與BC的交點坐標為（1，3），則利用點P在正方形ABCD內(nèi)部（不包含邊）得到-1＜m＜1且m≠0，然后分別解-1＜＜0和0＜＜1即可．

（1）(，)；（2）設(shè)點(，).

當四邊形是正方形時，，

當點在第二象限時，有.

解得，.

∵，

∴.

∴正方形的邊長為.

（3）設(shè)點(，)，則點E（，），則點F(，).

∵為拋物線頂點，

∴該拋物線解析式為.

∵拋物線經(jīng)過點，

∴，化簡得.

對于，令，解得； 令，解得.

∵點在正方形內(nèi)部，

∴＜＜，且.

①當＜＜時

由反比例函數(shù)性質(zhì)知，∴＜.

②當＜＜時

由反比例函數(shù)性質(zhì)知，∴＞.