【題目】我們提供如下定理:在直角三角形中,30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半,
如圖(1),Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,則BC=AB.
請利用以上定理及有關(guān)知識,解決下列問題:
如圖(2),邊長為6的等邊三角形ABC中,點(diǎn)D從A出發(fā),沿射線AB方向有A向B運(yùn)動(dòng)點(diǎn)F同時(shí)從C出發(fā),以相同的速度沿著射線BC方向運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)D作DE⊥AC,DF交射線AC于點(diǎn)G.
(1)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí),直接寫出AE的長;
(2)當(dāng)DF⊥AB時(shí),求AD的長及△BDF的面積;
(3)小明通過測量發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí),EG的長始終等于AC的一半,他想當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到圖3的情況時(shí),EG的長始終等于AC的一半嗎?若改變,說明理由;若不變,說明理由.
【答案】(1)AE =;(2)AD=2,S△BDF=8;(3)不變,理由見解析
【解析】
(1)根據(jù)D為AB的中點(diǎn),求出AD的長,在Rt△ADE中,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE的長即可;
(2)根據(jù)題意得到設(shè)AD=CF=x,表示出BD與BF,在Rt△BDF中,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到BF=2BD,列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出BD與BF的長,利用勾股定理求出DF的長,即可確定出△BDF的面積;
(3)不變,理由如下,如圖,過F作FM⊥AG延長線于M,由AD=CF,且△ABC為等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)定義得到DE=FM,以及AE=CM,利用AAS得到△DEG與△FMC全等,利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EG=MG,根據(jù)AC=AE+EC,等量代換即可得證.
解:(1)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí),AD=BD=AB=3,
在Rt△ADE中,∠A=60°,
∴∠ADE=30°,
∴AE=AD=;
(2)設(shè)AD=x,∴CF=x,
則BD=6-x,BF=6+x,
∵∠B=60°,∠BDF=90°,
∴∠F=30°,即BF=2BD,
∴6+x=2×(6-x),
解得:x=2,即AD=2,
∴BD=4,BF=8,
根據(jù)勾股定理得:DF=4,
∴S△BDF=×4×4=8;
(3)不變,理由如下,如圖,過F作FM⊥AG延長線于M,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠A=∠ACB=∠FCM=60°,
在Rt△ADE和Rt△FCM中,
∴Rt△ADE≌Rt△FCM,
∴DE=FM,AE=CM,
在△DEG和△FMG,
,
∴△DEG≌△FMG,
∴GE=GM,
∴AC=AE+EC=CM+CE=GE+GM=2GE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上,將△ABC向右平移4格,再向上平移2格,其中每個(gè)格子的邊長為1個(gè)單位長度。
⑴在圖中畫出平移后的△A′B′C′;
⑵若連接AA′、CC′,則這兩條線段的關(guān)系是 ;
⑶作△ABC的高AD,并求△ABC的面積。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,將線段先向上平移個(gè)單位長度,再向右平移個(gè)單位長度,得到線段,連接,,構(gòu)成平行四邊形.
(1)請寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為________,點(diǎn)的坐標(biāo)為________,________;
(2)點(diǎn)在軸上,且,求出點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖,點(diǎn)是線段上任意一個(gè)點(diǎn)(不與、重合),連接、,試探索、、之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC在平面直角坐標(biāo)系中,且A、B、C.將其平移后得到,若A,B的對應(yīng)點(diǎn)是,,C的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.
(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC;
(2)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________,坐標(biāo)是___________;
(3)此次平移也可看作向________平移了____________個(gè)單位長度,再向_______平移了______個(gè)單位長度得到△ABC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),則BM+MN的最小值是__________.
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【題目】隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近,東方紅商場決定開展“歡度端午,回饋顧客”的讓利促銷活動(dòng),對部分品牌粽子進(jìn)行打折銷售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.
(1)打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元?
(2)陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,問打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB是某天然氣公司的主輸氣管道,點(diǎn)C、D是在AB異側(cè)的兩個(gè)小區(qū),現(xiàn)在主輸氣管道上尋找支管道連接點(diǎn),向兩個(gè)小區(qū)鋪設(shè)管道有以下兩個(gè)方案:
方案一:只取一個(gè)連接點(diǎn)P,使得像兩個(gè)小區(qū)鋪設(shè)的支管道總長度最短,在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置,保留畫圖痕跡;
方案二:取兩個(gè)連接點(diǎn)M和N,使得點(diǎn)M到C小區(qū)鋪設(shè)的支管道最短,使得點(diǎn)N到D小區(qū)鋪設(shè)的管道最短在途中標(biāo)出M、N的位置,保留畫圖痕跡;
設(shè)方案一中鋪設(shè)的支管道總長度為L1,方案二中鋪設(shè)的支管道總長度為,則L1與L2的大小關(guān)系為: L1_____ L2(填”、”或)理由是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,點(diǎn)D在AC上,BC=BD,DE∥BC交AB于點(diǎn)E,則圖中等腰三角形共有( )
A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)
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【題目】(1)如圖①∠1+∠2與∠B+∠C有什么關(guān)系?為什么?
(2)把圖①△ABC沿DE折疊,得到圖②,填空:∠1+∠2_______∠B+∠C(填“>”“<”“=”),當(dāng)∠A=40°時(shí),∠B+∠C+∠1+∠2=______.
(3)如圖③,是由圖①的△ABC沿DE折疊得到的,如果∠A=30°,則x+y=360°-(∠B+∠C+∠1+∠2)=360°- = ,猜想∠BDA+∠CEA與∠A的關(guān)系為
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