Question

【題目】已知線段OA⊥OB,C為OB的中點(diǎn),D為AO上一點(diǎn),連接AC,BD交于點(diǎn)P.

(1)如圖①,當(dāng)OA=OB,且D為AO的中點(diǎn)時,求的值;

(2)如圖②,當(dāng)OA=OB,=時,求tan ∠BPC的值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）.

【解析】試題分析：

（1）如圖1，過點(diǎn)C作CE∥AO交BD于點(diǎn)E，由此可得△BCE∽△BOD，△CEP∽△ADP，從而可得：，，再由D是OA中點(diǎn)，可得：CE=OD=AD，所以=2；

（2）如圖2，過點(diǎn)C作CE∥OA交BD于點(diǎn)E，設(shè)AD為，則由已知可得DO=3，AO=BO=，由勾股定理可得BD=；由CE∥OA可得△BCE∽△BOD，△ECP∽△DAP，再由相似三角形的性質(zhì)解得CE、DE，最后可得PD==AD，從而得到∠BPC=∠APD=∠A，就可在Rt△ACO中由求來求了.

試題解析：

(1)過點(diǎn)C作CE∥OA 交BD于點(diǎn)E，

∴△BCE∽△BOD.

∵C為OB中點(diǎn)，D為AO中點(diǎn)，

∴CE=OD=AD.

∵CE∥AD，

∴△ECP∽△DAP，

∴==2.

(2)過點(diǎn)C作CE∥OA交BD于點(diǎn)E.設(shè)AD=x，

∵OA=OB，=，

∴AO=OB=4x，OD=3x.

∵CE∥OD，

∴△BCE∽△BOD，

∴CE=OD=x.

∵CE∥AD，

∴△ECP∽△DAP，

∴==.由勾股定理可知BD=5x，則DE=BD=x.

∴===，解得PD=x，

∴PD=AD.

∴∠BPC=∠DPA=∠A.

∵OA=OB，C是OB中點(diǎn)，

∴CO=OB=AO，

∴tan ∠BPC=tan A==.