Question

20．如圖，已知矩形紙片ABCD，AB=4，BC=10，M是BC的中點，點P沿折線BA-AD運動，以MP為折痕將矩形紙片向右翻折，使點B落在矩形的邊上，則折痕MP的長$\frac{5}{2}\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$或4．

Answer 1

分析 分三種情況進行討論：①點B′落在AB邊上，②點B′落在AD邊上，③點B′與點C重合，根據(jù)折疊的性質(zhì)，分別畫出圖形進行求解．

解答 解：①如圖，當點B′落在AB邊上時，過M作ME⊥AD于E，可得四邊形ABME為矩形，
∴EM=AB=4，AE=BM，
又∵BC=10，M為BC的中點，
∴由折疊可得：B′M=BM=AE=5，
在Rt△EMB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AB′=AE-B′E=2，
設BP=x，則AP=4-x，PB′=x，
在Rt△PAB′中，根據(jù)勾股定理得：PB′²=AP²+AB′²，
即x²=（4-x）²+2²，
解得x=$\frac{5}{2}$，
∴PB=$\frac{5}{2}$，
在Rt△BMP中，根據(jù)勾股定理得：PM=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5}{2}\sqrt{5}$；

②如圖，當點B′落在AD邊上時，過M作ME⊥AD于E，可得四邊形ABME為矩形，
∴EM=AB=4，
又∵BC=10，M為BC的中點，
∴由折疊可得：B′M=BM=5，
在Rt△EMB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
由AD∥BC可得，∠DPM=∠BMP，
由折疊可得，∠PMB′=∠BMP，
∴∠DPM=∠PMB′，
∴B′M=B′P=5，
∴PE=5-3=2，
在Rt△PEM中，根據(jù)勾股定理得：PM=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

③如圖，當點B′與點C重合時，由∠A=∠B=∠BMP=90°，可得四邊形ABMP為矩形，
此時，PM=AB=4．
綜上所述，折痕MP的長為：$\frac{5}{2}\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$或4．
故答案為：$\frac{5}{2}\sqrt{5}$或2$\sqrt{5}$或4

點評 本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換，需要注意折疊前后圖形的對應邊相等、對應角相等．解題時，常常設要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨�角形，運用勾股定理列出方程求出答案．