Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，平移直線y=-x，平移后的直線分別交x軸、y軸于點A、點B
（1）當(dāng)直線AB與反比例函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象只有一個公共點P時，求點P的坐標(biāo)；
（2）如圖，將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AC，在x軸上是否存在點Q，使∠BQC=45°？如果存在，請求點Q的坐標(biāo)．
（3）平移直線AB，平移后與反比例函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象相交于點M、N，當(dāng)MN=4

2

時，求直線MN的解析式．

Answer 1

分析：（1）將直線y=-x+b與y=

1

x

聯(lián)立方程組，消元得-x+b=

1

x

，進而利用根的判別式得出b的值，即可得出P點坐標(biāo)；
（2）利用圓周角定理得出∠BQ₁C=∠BQ₂C=

1

2

∠BAC=45°，進而得出A，B兩點坐標(biāo)，得出OQ₁=2

2

-2，OQ₂=2

2

+2，即可得出點Q的坐標(biāo)；
（3）將直線y=-x+b與y=

1

x

聯(lián)立方程組，消元得-x+b=

1

x

，變形得x²-bx+1=0，則x₁+x₂=b，x₁x₂=1，在構(gòu)造以MN為斜邊的等腰直角△NEM，進而求出NE的長度，再利用（x₁+x₂） ²-4x₁x ₂=（x₁-x₂）²，求出b的值即可．

解答：解：（1）設(shè)直線AB為y=-x+b
將直線y=-x+b與y=

1

x

聯(lián)立方程組，消元得-x+b=

1

x

，
變形得x²-bx+1=0，依題意有：（-b）²-4×1×1=0
取正值為b=2，
當(dāng)b=2時，x²-2x+1=0
解得：x₁=x₂=1，
故點P（1，1）；

（2）如圖1，存在點Q，使得∠BQC=45°，理由：
以點A為圓心，AB為半徑作⊙A，交x軸于點Q₁、Q₂
則∠BQ₁C=∠BQ₂C=

1

2

∠BAC=45°，
∵由（1）得出b=2，
∴y=-x+2，當(dāng)y=0時，0=-x+2，
解得：x=2，
當(dāng)x=0時，y=2，
∴直線y=-x+2與x軸交點坐標(biāo)為（2，0），與y軸交點坐標(biāo)為（0，2），
∴AQ₁=AQ₂=AB=

22+22

=2

2

，
∴OQ₁=2

2

-2，OQ₂=2

2

+2，
∴Q₁（-2

2

+2，0），Q₂（2

2

+2，0）；

（3）如圖2，設(shè)直線AB為y=-x+b，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
將直線y=-x+b與y=

1

x

聯(lián)立方程組，消元得-x+b=

1

x

，
變形得x²-bx+1=0，則x₁+x₂=b，x₁x₂=1，
構(gòu)造以MN為斜邊的等腰直角△NEM，
∵EN=EM，MN=4

2

，NE ²+EM ²=MN ²，
∴2NE ²=（4

2

）²，
解得：NE=4，
∴x₁-x₂=4，
∴（x₁+x₂） ²-4x₁x ₂=（x₁-x₂）²=16，
∴b²-4×1=16，
解得：b=±2

5

．
b取正值得b=2

5

．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根與系數(shù)的關(guān)系和圓周角定理等知識，根據(jù)已知正確的作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．