Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是4．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB的上方．

（1）求k的值；

（2）設(shè)直線PA，PB與x軸分別交于點(diǎn)M，N，求證：△PMN是等腰三角形；

（3）設(shè)點(diǎn)Q是反比例函數(shù)圖象上位于P，B之間的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)P，B不重合），連接AQ，BQ，比較∠PAQ與∠PBQ的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=4；（2）△PMN是等腰三角形；（3）∠PAQ=∠PBQ，理由見解析.

【解析】

（1）由題意將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)中解得對應(yīng)的y的值可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，把所得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入中即可解得k的值；

（2）如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，由k的值得到反比例函數(shù)的解析式，由所得反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，這樣設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由此解得直線PA、PB的解析式，即可求得用含m的代數(shù)式表達(dá)的點(diǎn)M和N的坐標(biāo)，從而可求得用m的代數(shù)式表達(dá)的MH和NH的長度，得到MH=NH，即可得到PH是線段MN的垂直平分線，從而可得PM=PN，由此即可得到△PMN是等腰三角形；

（3）如圖3，設(shè)QA和x軸相交于點(diǎn)C，QB和x軸相交于點(diǎn)D，則和（2）同理可得QC=QD，由此可得∠QCD=∠QDC，由（2）中所得的PM=PN可得∠PMN=∠PNM，這樣結(jié)合對頂角相等和三角形外角的性質(zhì)即可證得∠PAQ=∠PBQ.

（1）把x=4代入，可得y=1，

∴到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），

把點(diǎn)B（4，1）代入，得k=4；

（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，如圖2．

由（1）可知反比例函數(shù)解析式為：，

由 解得： ， ，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，-1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），

∵點(diǎn)P在的圖象上，

設(shè)P的坐標(biāo)為：，直線PA的方程為y=ax+b，直線PB的方程為y=px+q，

把點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)代入所設(shè)解析式可得： 和 ，

由此解得：直線PA的解析式為，直線PB的解析式為，

由此可得：M的坐標(biāo)為（m-4，0），N的坐標(biāo)為（m+4，0），

∴H（m，0），

∴MH=m-（m-4）=4，NH=m+4-m=4，

∴MH=NH，

∴PH垂直平分MN，

∴PM=PN，

∴△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠PBQ．理由如下：

如圖3，設(shè)QA和x軸相交于點(diǎn)C，QB和x軸相交于點(diǎn)D，則和（2）同理可得QC=QD，

∴∠QCD=∠QDC，

又∵∠QCD=∠MCA，

∴∠MCA=∠QDC，

∵由（2）可知PM=PN，

∴∠PMN=∠PNM，

又∵∠PMN=∠PAQ+∠MCA，∠PNM=∠QDC+∠DBN，

∴∠PAQ+∠MCA=∠QDC+∠DBN，

又∵∠DBN=∠PBQ，

∴∠PAQ+∠MCA=∠QDC+∠PBQ，

∴∠PAQ=∠PBQ.