Question

1．如圖，已知邊長為6的等邊△ABC內(nèi)接于⊙O．
（1）求⊙O半徑；
（2）求$\widehat{BC}$的長和弓形BC的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OB，OC，作OM⊥BC于M，根據(jù)圓周角定理求出∠BOC的度數(shù)，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
（2）直接根據(jù)弧長公式可得出弧BC的長，再由弓形BC的面積=S_扇形BOC-S_△BOC可得出結(jié)論．

解答 解：（1）連結(jié)OB，OC，作OM⊥BC于M，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=120°．
又∵OM⊥BC，
∴BM=CM=3．
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
∴⊙O半徑=$\frac{3}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$；

（2）∵由（1）知∠BOC=120°，OB=2$\sqrt{3}$，
∴弧BC的長=$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$
弓形BC的面積=S_扇形BOC-S_△BOC=$\frac{120π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×6×3=4π-3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意作出輔助線，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．