Question

13．如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A₁B₁C₁，并寫出點A₁的坐標(biāo)；
（2）請畫出△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A₂BC₂；
（3）求出（2）中C點旋轉(zhuǎn)到C₂點所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留根號和π）；
（4）求出（2）△A₂BC₂的面積是多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征，寫出點A、B、C的對應(yīng)點A₁、B₁、C₁的坐標(biāo)，然后描點即可得到△A₁B₁C₁；
（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出點A、C的對應(yīng)點A₂、C₂，則可得到△A₂BC₂；
（3）C點旋轉(zhuǎn)到C₂點所經(jīng)過的路徑是以B點為圓心，BC為半徑，圓心角為90°的弧，然后根據(jù)弧長公式計算即可；
（4）利用一個矩形的面積分別減去三個三角形的面積可計算出△A₂BC₂的面積．

解答 解：（1）如圖，△A₁B₁C₁為所作，點A₁的坐標(biāo)為（2，-4）；
（2）如圖，△A₂BC₂為所作；

（3）BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
所以C點旋轉(zhuǎn)到C₂點所經(jīng)過的路徑長=$\frac{90•π•\sqrt{13}}{180}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$π；
（4）△A₂BC₂的面積=3×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了軸對稱變換．