【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)圖象的頂點(diǎn)為D,其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣1,3.與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,在下面五個結(jié)論中:
①2a﹣b=0;②a+b+c>0;③c=﹣3a;④只有當(dāng)a=時,△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB為等腰三角形的a值可以有四個.
其中正確的結(jié)論是 .(只填序號)
【答案】③④.
【解析】
試題分析:先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為﹣1,3確定出AB的長及對稱軸,再由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系,由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.
解:①∵圖象與x軸的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為﹣1,3,
∴AB=4,
∴對稱軸x=﹣=1,
即2a+b=0.
故①錯誤;
②根據(jù)圖示知,當(dāng)x=1時,y<0,即a+b+c<0.
故②錯誤;
③∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,而b=﹣2a,
∴a+2a+c=0,即c=﹣3a.
故③正確;
④∵△ADB為等腰直角三角形.
所以AD=BD=
設(shè)D(1,a+b+c),又b=﹣2a,c=﹣3a,故D(1,﹣4a);
列方程求解得a=1/2或a=﹣1/2(舍去)
∴只有a=1/2時三角形ABD為等腰直角三角形
故④正確;
⑤要使△ACB為等腰三角形,則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,
當(dāng)AB=BC=4時,
∵AO=1,△BOC為直角三角形,
又∵OC的長即為|c|,
∴c2=16﹣9=7,
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,
∴c=﹣,
與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組,解得a=;
同理當(dāng)AB=AC=4時
∵AO=1,△AOC為直角三角形,
又∵OC的長即為|c|,
∴c2=16﹣1=15,
∵由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,
∴c=﹣
與2a+b=0、a﹣b+c=0聯(lián)立組成解方程組,解得a=;
同理當(dāng)AC=BC時
在△AOC中,AC2=1+c2,
在△BOC中BC2=c2+9,
∵AC=BC,
∴1+c2=c2+9,此方程無解.
經(jīng)解方程組可知只有兩個a值滿足條件.
故⑤錯誤.
綜上所述,正確的結(jié)論是③④.
故答案是:③④.
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第二步,連接MN分別交AB、AC于點(diǎn)E、F;
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B.1.2×104
C.1.2×106
D.1.2×108
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