Question

9．如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，DE∥AC，DF∥AB．
（1）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是菱形？并說明理由．
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再證出∠FDA=∠FAD，得出AF=DF，即可得出結論．
（2）根據有一個角是直角的菱形是正方形可得△ABC是等腰直角三角形時，四邊形AEDF是正方形．

解答 解：（1）當AB=AC時，四邊形AEDF是菱形；理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD=∠FDA；
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AD是∠BAC的平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FDA=∠FAD，
∴AF=DF（等角對等邊），
∴四邊形AEDF是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．

（2）當△ABC是等腰直角三角形時，四邊形AEDF是正方形．
由（1）可得：當AB=AC時，四邊形AEDF是菱形，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）．

點評 此題主要考查了菱形的判定和正方形的判定，關鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的菱形是正方形．