【題目】如圖,將一個正方形紙片OABC放置在平面直角坐標系中,其中A(1,0),C(0,1),P為AB邊上一個動點,折疊該紙片,使O點與P點重合,折痕l與OP交于點M,與對角線AC交于Q點

(Ⅰ)若點P的坐標為(1,0.25),求點M的坐標;

(Ⅱ)若點P的坐標為(1,t)

①求點M的坐標(用含t的式子表示)(直接寫出答案)

②求點Q的坐標(用含t的式子表示)(直接寫出答案)

(Ⅲ)當點P在邊AB上移動時,∠QOP的度數(shù)是否發(fā)生變化?如果你認為不發(fā)生變化,寫出它的角度的大小.并說明理由;如果你認為發(fā)生變化,也說明理由.

【答案】(Ⅰ)M點坐標為(, );(Ⅱ)① M(,t);②Q點坐標為( );

(Ⅲ)不變化,∠QOP=45°,理由見解析.

【解析】解:(Ⅰ)過M作ME⊥x軸于點E,如圖1,

由題意可知M為OP中點,∴E為OA中點,∴OE=OA=,ME=AP=,∴M點坐標為( );

(Ⅱ)①同(Ⅰ),當P(1,t)時,可得M(,t);

②設直線OP的解析式為y=kx,把P(1,t)代入可求得k=t,

∴直線OP解析式為y=tx,又l⊥OP,

∴可設直線MQ解析式為y=﹣x+b,且過點M(, ),

把M點坐標代入可得=﹣+b,解得b=,∴直線l解析式為y=﹣x+,

又直線AC解析式為y=﹣x+1,

聯(lián)立直線l和直線AC的解析式可得 ,解得

∴Q點坐標為(, );

(Ⅲ)不變化,∠QOP=45°.理由如下:由(Ⅱ)②可知Q點坐標為(, ),

∴OQ2=PQ2=(2+(2=,

又P(1,t),∴OP2=1+t2,∴OQ2+QP2=OP2,

∴△OPQ是以OP為斜邊的等腰直角三角形,∴∠QOP=45°,即∠QOP不變化.

練習冊系列答案
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