Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD交CE于H點(diǎn)，交⊙O于N，OM⊥BC于M，BF為⊙O的直徑，下列結(jié)論：①DN=DH；②四邊形AHCF為平行四邊形；③BF=2FC；④AH=2OM，其中正確的有（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：根據(jù)圓周角定理以及三角形的內(nèi)角和定理可以證得∠NHC=∠N，然后根據(jù)三線合一定理即可判斷①；
根據(jù)AD⊥BC，以及直徑所對的圓周角是直角，即可證得∠BCF=90°，則AH∥CF，然后根據(jù)等弧所對的圓周角相等，平行線的判定定理證明AF∥CH，即可證得四邊形AHCF；
易證OM是△BCF的中位線，根據(jù)中位線定理．以及平行四邊形的對邊相等，即可判斷④的正誤．

解答：解：連接CN．
∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEH=∠NDC=90°，
又∵∠EAH=∠DCN
∴∠AHE=∠N
∵∠NHC=∠AHE
∴∠NHC=∠N，
∴NC=CH
又∵BC⊥NH
∴DN=DH，故①正確；
∵BF是圓的直徑，
∴∠BCF=90°，
又∵AD⊥BC
∴AD∥CF，
∴

AF

=

CN

，
∴

AC

=

NF

，
∴∠FAD=∠N
∴∠FAD=∠NHC
∴AF∥CH，
∴四邊形AHCF為平行四邊形．故②是正確的；
∵OM⊥BC于M，∠BCF=90°，
∴OM∥CF，
又∵OB=OF，
∴OM是△BCF的中位線，
∴FC=2OM，
∵平行四邊形AHCF中，AH=FC，
∴AH=2OM，故④正確；
當(dāng)BF=2FC時(shí)，∠FBC=30°，題目中沒有已知條件，故③是錯(cuò)誤的．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理，三角形的中位線定理，以及平行四邊形的判定方法，正確證得四邊形AHCF為平行四邊形是關(guān)鍵．