Question

北京紅螺食品公司生產(chǎn)的各種果脯一直受到大眾的喜愛，尤其是該公司生產(chǎn)的桃脯特別香甜可口．但由于該公司某經(jīng)銷點存貨有限，在2011年1到5月該經(jīng)銷點每月桃脯的銷量y₁（千克）與月份x（1≤x≤5，x為整數(shù)）的關(guān)系如下表所示：

x（月）	1	2	3	4	5
y1（千克）	150	75	50	37.5	30

6月份由于鮮桃的大量上市，紅螺公司進行大量采購與加工，所以在6到12月該經(jīng)銷點每月桃脯的銷量y₂（千克）與月份x（6≤x≤12，x為整數(shù)）的函數(shù)關(guān)系為：y₂=30x-30；
已知在1到5月該經(jīng)銷點每千克桃脯的價格p₁（元）與月份x（1≤x≤5，x為整數(shù)）的函數(shù)關(guān)系為：p1=-5x2+30x；而在6到12月每千克桃脯的價格p₂（元）與月份x（6≤x≤12，x為整數(shù)）的關(guān)系滿足如下函數(shù)圖象；
（1）請觀察圖中的表格，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的有關(guān)知識直接寫出y₁與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變換趨勢，直接寫出p₂與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；
（2）試求出該經(jīng)銷點在哪個月桃脯的銷售額最大，最大為多少元；
（3）為滿足市場所需，紅螺公司決定在2012年將此種桃脯作為海外出口的首推品，所以在今年1到4月該經(jīng)銷點在去年獲得最大銷售額的基礎(chǔ)上，每月的總銷量都上漲了15a%，且其中的

1

3

是用于出口，剩余部分由經(jīng)銷點國內(nèi)銷售，每月出口桃脯的售價每千克降低了0.8a%，而國內(nèi)銷售的桃脯價格每千克上漲了0.1a%，這樣該經(jīng)銷點1到4月銷售桃脯的總額為142560元，試求出a的值．（參考數(shù)據(jù)：32²=1024，33²=1089，34²=1156，35²=1225）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）從統(tǒng)計表可以看出y₁隨x的增大而減小，且乘積是一個定值，故可以得出其解析式．由圖象可以看出p₂與x之間的函數(shù)圖象是一條線段，故為一次函數(shù)，由待定系數(shù)法可以求出其解析式；
（2）設(shè)銷售額為W元，根據(jù)銷售額=銷售數(shù)量×銷售單價，就可以表示出銷售額與月份之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先根據(jù)去年的最大銷售額求出其售價和銷量，再根據(jù)題意得數(shù)量變化關(guān)系列出關(guān)于a的方程，然后解方程即可．

解答：解：（1）設(shè)y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y₁=

k1

x

，
由題意，得150=k₁，
則y₁=

150

x

（1≤x≤5），
設(shè)p₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：p₂=k₂x+b，
由題意，得

42=6k2+b 34=10k2+b

，
解得

k2=-2 b=54

，
則P₂=-2x+54（6≤x≤12，且 x為整數(shù)）；
（2）設(shè)銷售額為W元，1≤x≤5的整數(shù)時，
W₁=y₁•P₁=

150

x

（-5x²+30x））=-750x+4500，
∵k=-750＜0，
∴W₁隨x的增大而減小，
∴x=1，W_1大=3750元，
當6≤x≤12時，
W₂=y₂•P₂=（30x-30）（-2x+54）=-60x²+1680x-1620，
∵-

b

2a

=-

1680

-120

=14，
∵-60＜0，x＜14，
∴此時，W₂隨x增大而增大
∴x=12，W_2大=9900元＞W(wǎng)_1大，
∴當x=12時，W_大=9900；
（3）當x=12時，售價P=-2×12+54=30元，
當x=12時，銷量y=30×12-30=330kg．
由題意，得

1

3

×330（1+15a%）×30（1-0.8a%）+

2

3

×330（1+15a%）×30（1+0.1a%）=142560÷4，
令a%=t，則方程變?yōu)?BR>

1

3

×330（1+15t）×30（1-0.8t）+

2

3

×330（1+15t）×30（1+0.1t）=35640，
則330（1+15t）[10-8t+20+2t]=35640，
（1+15t）（30-6t）=108，
（1+15t）（5-t）=18，
∴-15t²+74t-13=0，
15t²-74t+13=0，
t=

74±2 1174

30

=

37± 1174

15

=

37±34

15

，
t₁=4.7此時1-0.8t＜0，
故舍去，
t₂=

3

15

=

1

5

=20%，
則a=20．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式求最值的運用及一元二次方程的解法及運用．