Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E．

（1）如圖1，連接CE，求證：△BCE是等邊三角形；

（2）如圖2，點M為CE上一點，連結BM，作等邊△BMN，連接EN，求證：EN∥BC；

（3）如圖3，點P為線段AD上一點，連結BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延長線于Q，探究線段PD，DQ與AD之間的數(shù)量關系，并證明．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質．

【分析】（1）由直角三角形的性質得出∠ABC=60°，由角平分線的定義得出∠A=∠DBA，證出AD=BD，由線段垂直平分線的性質得出AE=BE，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CE=AB=BE，即可得出結論；

（2）由等邊三角形的性質得出BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，證出∠CBM=∠EBN，由SAS證明△CBM≌△EBN，得出∠BEN=∠BCM=60°，得出∠BEN=∠EBC，即可得出結論；

（3）延長BD至F，使DF=PD，連接PF，證出△PDF為等邊三角形，得出PF=PD=DF，∠F=∠PDQ=60°，得到∠F=∠PDQ=60°，證出∠Q=∠PBF，由AAS證明△PFB≌△PDQ，得出DQ=BF=BD+DF=BD+DP，證出AD=BD，即可得出結論．

【解答】（1）證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠DBA=∠ABC=30°，

∴∠A=∠DBA，

∴AD=BD，

∵DE⊥AB，

∴AE=BE，

∴CE=AB=BE，

∴△BCE是等邊三角形；

（2）證明：∵△BCE與△MNB都是等邊三角形，

∴BC=BE，BM=BN，∠EBC=∠MBN=60°，

∴∠CBM=∠EBN，

在△CBM和△EBN中，

，

∴△CBM≌△EBN（SAS），

∴∠BEN=∠BCM=60°，

∴∠BEN=∠EBC，

∴EN∥BC；

（3）解：DQ=AD+DP；理由如下：

延長BD至F，使DF=PD，連接PF，如圖所示：

∵∠PDF=∠BDC=∠A+∠DBA=30°+30°=60°，

∴△PDF為等邊三角形，

∴PF=PD=DF，∠F=60°，

∵∠PDQ=90°﹣∠A=60°，

∴∠F=∠PDQ=60°，

∴∠BDQ=180°﹣∠BDC﹣∠PDQ=60°，

∴∠BPQ=∠BDQ=60°，

∴∠Q=∠PBF，

在△PFB和△PDQ中，

，

∴△PFB≌△PDQ，

∴DQ=BF=BD+DF=BD+DP，

∵∠A=∠ABD，

∴AD=BD，

∴DQ=AD+DP．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定、直角三角形斜邊上的中線性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）中，需要通過作輔助線證明等邊三角形和三角形全等才能得出結論．