Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CB，CD分別切⊙O于點B，D，CD交BA的延長線于點E，CO的延長線交⊙O于點G,EF⊥OG于點F。

（1）求證：∠FEB=∠ECF

（2）BC= 12, DE=8 求 EA的長。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4.

【解析】

（1）利用切線長定理得到OC平分∠BCE，即∠ECF=∠BCO，利用切線的性質(zhì)得OB⊥BC，則∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；

（2）連接OD，如圖，利用切線長定理和切線的性質(zhì)得到CD=CB=12，OD⊥CE，則CE=20，利用勾股定理可計算出BE=16，設⊙O的半徑為r，則OD=OB=r，OE=16﹣r．在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理得r2+82=（16﹣r）2，解得r=6，即可得出EA的長．

（1）∵CB、CD分別切⊙O于點B，D，∴OBBC，OC平分∠BCE，即∠ECF=∠BCO．

∵∠OBC=90°，∴∠BCO+∠COB=90°．

∵EFOG，∴∠FEB+∠FOE=90°．

又∵∠COB=∠FOE，∴∠FEB=∠BCO=∠ECF．

(2) 連接OD．

∵CB、CD分別切⊙O于點B，D，∴ CD=CB=12，ODCE，∴CE=CD+DE=12+8=20．

在Rt△BCE中，

設⊙O的半徑為r，則OD=OB=r，OE=16-r．

在Rt△ODE中，，解得：r=6．

∴EA=EB一2r=16 一12= 4．