Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A（-4，0）、點B（0，-8），直線AC與y軸交于點C（0，-4）．P是拋物線上A、B兩點之間的一點（P不與點A、B重合），過點P作PD∥y軸交直線AC于點D，過點P作PE⊥AC于點E．
（l）求拋物線所對應的函數(shù)表達式．
（2）若四邊形PBCD為平行四邊形，求點P的坐標．
（3）求點E橫坐標的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，將點A，點B代入拋物線解析式，解關(guān)于b，c的二元一次方程組，即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設點P（m，m²+2m-8），用含m的式子表示出點D，將它們的縱坐標相減，用含m的式子表示出PD的長度，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，得PD=BC，求出m的值，即可求出點P的坐標；
（3）由題意，可知OA=OC，得到∠ACO=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和，可得∠PDE=∠DPE=45°，進而得△DPE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一和直線三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得：EF=$\frac{1}{2}$PD，用含m的式子表示出點E的橫坐標，根據(jù)二次函數(shù)的最大值，即可解答．

解答 解：（1）拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A（-4，0），點B（0，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=0}\\{c=-8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴這條拋物線所對應的函數(shù)表達式為y=x²+2x-8；
（2）設直線AC的解析式為：y=kx+b，點A（-4，0），點C（0，-4）在直線AC上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線AC所對應的函數(shù)表達式為：y=-x-4；
∵點P在拋物線y=x²+2x-8上，
∴設點P（m，m²+2m-8），
∵PD∥y軸，
∴點D（m，-m-4），
∴PD=-m-4-（m²+2m-8）=-m²-3m+4，
∵四邊形PBCD是平行四邊形，
∴PD=BC，即-m²-3m+4=4，解得：m₁=0，m₂=-3，
∵點P不與點B重合，
∴m=-3，
∴P（-3，-5）；
（3）∵點A（-4，0），點C（0，-4），
∴OA=OC，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO=45°，
∵PD∥y軸，
∴∠PDE=∠ACO=45°，
∵PE⊥AC于點E，
∴∠PED=90°，
∴∠PDE=∠DPE=45°，
設點E的橫坐標為n，如圖，
過點E作EF⊥PD于點F，
∵△DPE是等腰直角三角形，
∴EF=$\frac{1}{2}$PD，即n-m=$\frac{1}{2}$PD，
∴n=m+$\frac{1}{2}$PD=m+$\frac{1}{2}$（-m²-3m+4）=-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{8}$，
∵-4＜m＜0，
∴當m=-$\frac{1}{2}$時，n最大，且n的最大值為$\frac{17}{8}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，第（2）小題熟記平行四邊形的對邊平行且相等是解決此題的關(guān)鍵，第（3）小題，考查了等腰三角形和直線三角形的性質(zhì)，能夠?qū)⒌妊�三角形的三線合一和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半聯(lián)系起來是解決此題的關(guān)鍵．