Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求證：直線CP是⊙O的切線；
（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求⊙O的半徑及△ACP的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AN，

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，

∵AC是⊙O的直徑，∴AN⊥BC，

∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠CAN=∠BCP．

∵∠CAN+∠ACN=90°，

∴∠BCP+∠ACN=90°，

∴CP⊥AC

∵OC是⊙O的半徑

∴CP是⊙O的切線

（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP= ，

∴ = ，

∴AC=5，

∴⊙O的半徑為

如圖，過點B作BD⊥AC于點D．

由（1）得BN=CN= BC= ，

在Rt△CAN中，AN= =2

在△CAN和△CBD中，

∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，

∴△CAN∽△CBD，

∴ = ，

∴BD=4．

在Rt△BCD中，CD= =2，

∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，

∵BD∥CP，

∴ = ， =

∴CP= ，BP=

∴△APC的周長是AC+PC+AP=20．

【解析】（1）由等角對等邊得AB=AC，連接AN，由圓周角定理及等角三角形的三線合一得出∠CAN=∠BCP．根據(jù)直角三角形兩銳角互余及等量代換得出∠BCP+∠ACN=90°，得出結(jié)論；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，找到圓的半徑，在Rt△CAN中根據(jù)勾股定理得出AN，進而判斷出△CAN∽△CBD，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出BD的長度，在Rt△BCD中由勾股定理得出CD，再由平行線分線段成比例得出CP,BP的長度。
【考點精析】利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．