Question

如圖，D，E分別是△ABC邊AB，BC上的點，AD=2BD，BE=CE，AE與CD相交于點F，若S_△ABC=6，則四邊形BEFD的面積為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,三角形的面積

專題：

分析：先由AD=2BD，S_△ABC=6，得出S_△ADC=

2

3

S_△ABC=4，S_△BDC=

1

3

S_△ABC=2．過E作EG∥AB交CD于G，根據三角形中位線定理得出CG=DG，則BD=2EG，AD=4EG．
設S_△EGF=x．由EG∥BD，得出△CEG∽△CBD，根據相似三角形的性質得到S_△CEG=

1

4

S_△CBD=

1

2

，S_梯形EGDB=2-

1

2

=

3

2

，設S_△FEG=x，則S_{四邊形BEFD}=

3

2

-x，S_△ADF=S_△ABE-S_{四邊形BEFD}=

3

2

+x．由EG∥AD，得出△FEG∽△FAD，根據相似三角形的性質得到

S△FEG

S△FAD

=（

EG

AD

）²=

1

16

，S_△FAD=16x，根據△FAD的面積不變列出方程16x=

3

2

+x，解方程即可．

解答：解：∵AD=2BD，S_△ABC=6，
∴S_△ADC=

2

3

S_△ABC=4，S_△BDC=

1

3

S_△ABC=2．
過E作EG∥AB交CD于G，
∵BE=CE，
∴CG=DG，
∴BD=2EG，
∵AD=2BD，
∴AD=4EG．
設S_△EGF=x．
∵EG∥BD，
∴△CEG∽△CBD，
∴

S△CEG

S△CBD

=（

CE

BC

）²=

1

4

，
∴S_△CEG=

1

4

S_△CBD=

1

4

×2=

1

2

，S_梯形EGDB=2-

1

2

=

3

2

，
設S_△FEG=x，則S_{四邊形BEFD}=

3

2

-x，
∵S_△ABE=

1

2

S_△ABC=3，
∴S_△ADF=S_△ABE-S_{四邊形BEFD}=3-（

3

2

-x）=

3

2

+x．
∵EG∥AD，
∴△FEG∽△FAD，
∴

S△FEG

S△FAD

=（

EG

AD

）²=

1

16

，
∴S_△FAD=16S_△FEG=16x，
∴16x=

3

2

+x，
解得x=

1

10

，
∴S_{四邊形BEFD}=

3

2

-x=

3

2

-

1

10

=

7

5

．
故答案為

7

5

．

點評：本題考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質，三角形的面積，有一定難度．準確作出輔助線是解題的關鍵．