【題目】已知拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A(﹣1,0),B(2,0),C三點.直線y=mx+交拋物線于A,Q兩點,點P是拋物線上直線AQ上方的一個動點,作PF⊥x軸,垂足為F,交AQ于點N.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖①,當點P運動到什么位置時,線段PN=2NF,求出此時點P的坐標;
(3)如圖②,線段AC的垂直平分線交x軸于點E,垂足為D,點M為拋物線的頂點,在直線DE上是否存在一點G,使△CMG的周長最?若存在,請求出點G的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)點P的坐標為(,);(3)在直線DE上存在一點G,使△CMG的周長最小,此時G(﹣,).
【解析】
(1)將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組,然后求得a,b的值,從而得到問題的答案;
(2)把A(﹣1,0)代入y=mx+ 求得m的值,可得到直線AQ的解析式,設(shè)點P的橫坐標為n,則P(n,﹣n2+n+2),N(n, n+),F(n,0),
然后用含n的式子表示出PN、NF的長,然后依據(jù)PN=2NF列方程求解即可;
(3)連結(jié)AM交直線DE與點G,連結(jié)CG、CM此時,△CMG的周長最小,先求得點M的坐標,然后求得AM和DE的解析式,最后在求得兩直線的交點坐標即可.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A(﹣1,0),B(2,0),
∴將點A和點B的坐標代入得: ,解得a=﹣1,b=1,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2.
(2)直線y=mx+交拋物線與A、Q兩點,把A(﹣1,0)代入解析式得:m=,
∴直線AQ的解析式為y=x+.
設(shè)點P的橫坐標為n,則P(n,﹣n2+n+2),N(n, n+),F(n,0),
∴PN=﹣n2+n+2﹣(n+)=﹣n2+n+ ,NF=n+.
∵PN=2NF,即﹣n2+n+=2×(n+),解得:n=﹣1或.
當n=﹣1時,點P與點A重合,不符合題意舍去.
∴點P的坐標為(,).
(3)∵y=﹣x2+x+2,=﹣(x﹣)2+,
∴M(,).
如圖所示,連結(jié)AM交直線DE與點G,連結(jié)CG、CM此時,△CMG的周長最小.
設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b,且過A(﹣1,0),M(,).
根據(jù)題意得: ,解得 .
∴直線AM的函數(shù)解析式為y=x+.
∵D為AC的中點,
∴D(﹣,1).
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+2,將點A的坐標代入得:﹣k+2=0,解得k=2,
∴AC的解析式為y=2x+2.
設(shè)直線DE的解析式為y=﹣x+c,將點D的坐標代入得: +c=1,解得c=,
∴直線DE的解析式為y=﹣x+.
將y=﹣x+ 與y=x+聯(lián)立,解得:x=﹣ ,y= .
∴在直線DE上存在一點G,使△CMG的周長最小,此時G(﹣,).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,Rt△OCD的一邊OC在x軸上,∠OCD=90°,點D在第一象限,OC=6,DC=4,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過OD的中點A.
(1)求該反比例函數(shù)的解析式;
(2)若該反比例函數(shù)的圖象與Rt△OCD的另一邊DC交于點B,求過A、B兩點的直線的解析式.
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【題目】為了推進球類運動的發(fā)展,某校組織校內(nèi)球類運動會,分籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五項,要求每位學(xué)生必須參加一項并且只能參加一項,某班有一名學(xué)生根據(jù)自己了解的班內(nèi)情況繪制了如圖所示的不完整統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖表中提供的信息,解答下列問題:
(1)圖表中m=________,n=________;
(2)若該校學(xué)生共有1000人,則該校參加羽毛球活動的人數(shù)約為________人;
(3)該班參加乒乓球活動的4位同學(xué)中,有3位男同學(xué)(分別用A,B,C表示)和1位女同學(xué)(用D表示),現(xiàn)準備從中選出兩名同學(xué)參加雙打比賽,用樹狀圖或列表法求出恰好選出一男一女的概率.
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,已知點的坐標為.
(1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線,它與軸和軸的正半軸分別交于點和點,且與關(guān)于直線對稱.(作圖不必寫作法,但要保留作圖痕跡.)
(2)請求出(1)中作出的直線的函數(shù)表達式.
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【題目】(1)【問題發(fā)現(xiàn)】
如圖1,在Rt△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,點D為BC的中點,以CD為一邊作正方形CDEF,點E恰好與點A重合,則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為
(2)【拓展研究】
在(1)的條件下,如果正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn),連接BE,CE,AF,線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無變化?請僅就圖2的情形給出證明;
(3)【問題發(fā)現(xiàn)】
當正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B,E,F(xiàn)三點共線時候,直接寫出線段AF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】丁老師為了解所任教的兩個班的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,對數(shù)學(xué)進行了一次測試,獲得了兩個班的成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進行整理、描述和分析,下面給出了部分信息.
①A、B兩班學(xué)生(兩個班的人數(shù)相同)數(shù)學(xué)成績不完整的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組:x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100):
②A、B兩班學(xué)生測試成績在80≤x<90這一組的數(shù)據(jù)如下:
A班:80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班:80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
③A、B兩班學(xué)生測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
A班 | 80.6 | m | 96.9 |
B班 | 80.8 | n | 153.3 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)補全數(shù)學(xué)成績頻數(shù)分布直方圖;
(2)寫出表中m、n的值;
(3)請你對比分析A、B兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況(至少從兩個不同的角度分析).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于平面直角坐標系xOy中的任意兩點M,N,給出如下定義:點M與點N的“折線距離”為:.
例如:若點M(-1,1),點N(2,-2),則點M與點N的“折線距離”為:.根據(jù)以上定義,解決下列問題:
(1)已知點P(3,-2).
①若點A(-2,-1),則d(P,A)= ;
②若點B(b,2),且d(P,B)=5,則b= ;
③已知點C(m,n)是直線上的一個動點,且d(P,C)<3,求m的取值范圍.
(2)⊙F的半徑為1,圓心F的坐標為(0,t),若⊙F上存在點E,使d(E,O)=2,直接寫出t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 在東西方向的海岸線MN上有A,B兩港口,海上有一座小島P,漁民每天都乘輪船從A,B 兩港口沿AP,BP的路線去小島捕魚作業(yè).已知小島P在A港的北偏東60°方向,在B港的北偏西45°方向,小島P距海岸線MN的距離為30海里.
(1)求AP,BP的長(參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7,≈2.2);
(2)甲、乙兩船分別從A,B兩港口同時出發(fā)去小島P捕魚作業(yè),甲船比乙船晚到小島24分鐘.已知甲船速度是乙船速度的1.2倍,利用(1)中的結(jié)果求甲、乙兩船的速度各是多少海里/時?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=﹣x+4分別交x軸、y軸于A、C兩點,拋物線y=﹣x2+mx+4經(jīng)過點A,且與x軸的另一個交點為點B.連接BC,過點C作CD∥x軸交拋物線于點D
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若點E是拋物線上的點,求滿足∠ECD=∠BCO的點E的坐標;
(3)點M在y軸上且位于點C上方,點N在直線AC上,點P為第一象限內(nèi)的拋物線上一點,若以點C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形,求菱形的邊長.
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