Question

【題目】（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線(xiàn)段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為　 　

（2）【拓展研究】

在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE，CE，AF，線(xiàn)段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；

（3）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)候，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）BE=AF；（2）無(wú)變化；證明見(jiàn)解析；（3）當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)候，線(xiàn)段AF的長(zhǎng)為﹣1或+1．

【解析】試題分析：（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD= ，再得出BE=AB=2，即可得出結(jié)論；

（2）先利用三角函數(shù)得出，同理得出，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進(jìn)而得出結(jié)論；

（3）分兩種情況計(jì)算，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BF上時(shí)，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=﹣，借助（2）得出的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BF的延長(zhǎng)線(xiàn)上，同前一種情況一樣即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，

根據(jù)勾股定理得，BC=AB=2，

點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD=BC=，

∵四邊形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，

∵BE=AB=2，∴BE=AF，

故答案為BE=AF；

（2）無(wú)變化；

如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，

∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC=，

∴，

∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，

∴線(xiàn)段BE與AF的數(shù)量關(guān)系無(wú)變化；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AF上時(shí)，如圖2，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根據(jù)勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，

由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，

當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BF的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，

在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，

∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，

由（1）知，CF=EF=CD=，

在Rt△BCF中，CF=，BC=2，

根據(jù)勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，

由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．

即：當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)候，線(xiàn)段AF的長(zhǎng)為﹣1或+1．