Question

試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n，都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和．

Answer 1

【答案】分析：寫出n＞6時(shí)的自然數(shù)，得到必有一個(gè)數(shù)A與n互質(zhì)，然后分三種情況討論：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；（2）當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)；（3）當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)．
解答：證明：直觀上可以這樣看，當(dāng)n＞6時(shí)，在2，3，…，n-2中，必有一個(gè)數(shù)A與n互質(zhì)（2≤A≤n-2），
記B=n-A≥2，有n=A+B，
此時(shí)，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d＞1，則d也是n的約數(shù)，從而A與n有大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾．
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
n=2+（n-2），或n=+
（2）當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)，n=+，
由n＞6知＞1，且、均為奇數(shù)，
（，）=（，4）=1．
（3）當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)，有n=+，
由n＞6知＞1，且、均為奇數(shù)，
（，）=（，2）=1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了自然數(shù)中互質(zhì)的數(shù)的判定，分類討論在解題中起著至關(guān)重要的作用，不可輕視．