Question

【題目】如圖，正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C上y軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作x的垂線，交反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F；記矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求該反比例函數(shù)的解析式．

（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；并求當(dāng)S=時(shí)，對(duì)應(yīng)的t值．

（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在一個(gè)t值，使△FBO為等腰三角形？若有，有幾個(gè)，寫出t值．

Answer 1

【答案】（1）y=（x＞0）；（2）S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣（t＞3）；當(dāng)S=時(shí)，對(duì)應(yīng)的t值為或6；（3）當(dāng)t=或或3時(shí)，使△FBO為等腰三角形．

【解析】

（1）由正方形OABC的面積為9，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，3），繼而可求得該反比例函數(shù)的解析式．
（2）由題意得P（t，），然后分別從當(dāng)點(diǎn)P1在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，S=t（-3）=-3t+9與當(dāng)點(diǎn)P2在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，則S=（t-3）=9-去分析求解即可求得答案；
（3）分別從OB=BF，OB=OF，OF=BF去分析求解即可求得答案．

解：（1）∵正方形OABC的面積為9，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（3，3），

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）的圖象上，

∴3=，

即k=9，

∴該反比例函數(shù)的解析式為：y= y=（x＞0）；

（2）根據(jù)題意得：P（t，），

分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P1在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，S=t（﹣3）=﹣3t+9（0≤t≤3）；

若S=，

則﹣3t+9=，

解得：t=；

②當(dāng)點(diǎn)P2在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，則S=（t﹣3）=9﹣；

若S=，則9﹣=，

解得：t=6；

∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣（t＞3）；

當(dāng)S=時(shí)，對(duì)應(yīng)的t值為或6；

（3）存在．

若OB=BF=3，此時(shí)CF=BC=3，

∴OF=6，

∴6=，

解得：t=；

若OB=OF=3，則3=，

解得：t= ；

若BF=OF，此時(shí)點(diǎn)F與C重合，t=3；

∴當(dāng)t=或或3時(shí)，使△FBO為等腰三角形．